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Limites-Continuité

1) Limites 2)Continuité 3)Correction des exercices

LIMITES

Définitions

Soit L un réel

On a: `lim_(x->+oo)f(x)=L` ssi tout intervalle ouvert contenant le réel L contient toutes les valeurs f(x) dès que x est assez grand
On a: `lim_(x->+oo)f(x)=+oo` ssi tout intervalle ]A ;`+oo` [ contient toutes les valeurs f(x) dès que x est assez grand

Remarques:
On a des définitions sur le même modèle pour `lim_(x->-oo)f(x)=L`
`lim_(x->+oo)f(x)=-oo` , `lim_(x->-oo)f(x)=+oo` , `lim_(x->-oo)f(x)=-oo`

Ces définitions servent essentiellement en terminale à la démonstration de quelques théorèmes; données sous une forme plus "rigoureuse" elles vous seront beaucoup plus utiles dans la suite de vos études....
Soit a un réel
On a: `lim_(x->a)f(x)=L` ssi tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f(x) dès que x est suffisamment proche de a

          Remarques:
      Si on travaille avec x>a ou x<a on parlera de limite à droite ou de limite à gauche en a

       Si f admet une limite L en a, alors cette limite est unique
       Si de plus, f est définie en a, alors cette limite est égale à f(a)

Théorème des gendarmes, théorèmes de comparaison

On prouve un encadrement	On détermine les limites:	On conclut
g(x)`<=` f(x)`<=` h(x)	`lim_(x->a)g(x)=lim_(x->a)h(x)=l` avec l réel	`lim_(x->a)f(x)=l`
g(x)`<=` f(x)	`lim_(x->a)g(x)=+oo`	`lim_(x->a)f(x)=+oo`
f(x)`<=` g(x)	`lim_(x->a)g(x)=-oo`	`lim_(x->a)f(x)=-oo`

Remarque:
cette méthode concerne essentiellement les fonctions trigonométriques....

ex1

la fonction f: x`|-> 2x + cos x` admet-elle une limite en - `oo` ?
la fonction f: x`|->x(2 + sin x)` admet-elle une limite en `+ oo` ? en - `oo` ? en 0?

Limites d'une fonction composée

écrire f sous la forme f= `g@u`
Déterminer `{(lim_(x->a)u(x)=b),(lim_(y->b)g(y)=c):}` , puis conclure `lim_(x->a)f(x)=c`

ex2

Déterminer les limites suivantes:

`lim_(x->- oo) sqrt(x^2-x+1)` ; `lim_(x->+ oo) sqrt((2x-1)/(x+2))` ; `lim_(x->-1) (x/(x+1))^2`
(penser à étudier une limite à droite et à gauche...)

Indétermination et fonctions irrationnelles

	Forme indéterminée	Méthode
Limite en un point a	`0/0`	(1) On utilise le plus souvent l'expression conjuguée au numérateur ou/et au dénominateur (2)On met en facteur l'expression (x-a) au numérateur et au dénominateur. (3)Après avoir simplifié on conclut
Limite à l'infini	`oo/oo`	On factorise par le terme le plus "influent" au numérateur et au dénominateur. On n'oublie pas que `sqrt(x^2)= \|x\|` !!!!
Limite à l'infini	+`oo` - `oo`	On factorise par la puissance du terme de plus haut degré ou on utilise une expression conjuguée. Voir ci-après pour le choix de la technique

ex3

déterminer les limites suivantes:
a) f(x)=`(2x-2)/(sqrt(x+3) -1)` en 1; b) f(x)=`(-x+sqrt(x))/(x-1)` en 1;

c) f(x)=`(2-sqrt(3x-2))/(sqrt(2x+5)-3)` en 2; d) f(x)=`(sqrt(x+1)-1)/(x-x^2)` en 0.

même question avec:
a) f(x)= `sqrt(x^2+2x+2) +2x-3` en - `oo`

b) g(x)= `sqrt(4x^2-4) -2x+3` en + `oo`

Indication:

	Fonction	Terme "le plus influent"	Méthode pour l'indétermination en `+-oo`
f	`sqrt(x^2+2x+2)` 2x-3	`sqrt(x^2)=\|x\|` 2x	Les termes les plus "influents" sont différents:une factorisation permet de conclure
g	`sqrt(4x^2-4)` -2x+3	`sqrt(4x^2)=2\|x\|` -2x	Les termes les plus" influents" sont opposés. Il faut utiliser l'expression conjuguée

Déterminer les limites de:
a) f(x)=`(3x+2)/(sqrt(x^2+3) -4)` en +`oo` ; b) f(x)= `(-x+sqrt(x))/(x-1)` en +`oo`

CONTINUITE

Définition

Soit f définie sur un intervalle ouvert contenant a
f est continue en a ssi `lim_(x->a)f(x)=f(a)`

Méthode: on peut être amené à déterminer une limite à gauche et une limite à droite en a
on montre alors: `lim_(x->a^-)f(x)=lim_(x->a^+)f(x)=f(a)`

ex4

Etudier la continuité des fonctions suivantes sur leurs ensembles de définition:

`{(f(x)=x^2+x+2if x<-2),(f(x)=(x+4)^2if x>=-2):}` avec `D_(f)=RR`

`{(f(x)=(x^2+2x-3)/(x+3)if x<=1),(f(x)=(sqrt(x+8)-3)/(sqrt(4x-3) -x)if x>1):}` avec `D_(f)=RR- {-3; 3}`

Fonction "partie entière"

Pour tout réel x il existe un unique entier n tel que `n<=x<=n+1`
on appelle fonction partie entière la fonction notée E qui au réel x de l'intervalle [n; n+1[

associe l'entier n: on note E(x) = n

Attention: E(-4.3)=-5 ....

Cette fonction est discontinue en tout point de `ZZ`

ex5:

1°) f(x)=E(x)+(x-E(x))² f est-elle continue sur [-1;2[ ?

2°) g(x)=E(3x) en quels réels la fonction g est-elle discontinue?

Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire

Théorème:

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I, avec a<b.

Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de [a; b]tel que f(c)=k.

Corollaire: (Théorème de la bijection)

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur l'intervalle [a; b],
alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k possède une solution unique dans l'intervalle [a; b]

Applications:
1) dénombrer les solutions d'une équation f(x)=k

Dans certains cas on peut la résoudre directement!....

Sinon:

on dresse le tableau des variations de f
on exploite ce tableau en utilisant le corollaire

2)approximation des solutions d'une équation f(x)=k

on encadre la solution en utilisant le tableau de variations et le corollaire
on utilise le tableau de valeurs de la calculatrice pour obtenir un encadrement plus précis
on justifie en appliquant le corollaire sur l'intervalle obtenu

3) étudier le signe d'une dérivée

la fonction dérivée sera étudiée en tant que fonction auxiliaire

on cherche à encadrer les solutions de l'équation f'(x)=0
on en déduit le signe de f' à partir du tableau des variations

CORRIGES

ex1

1) pour tout x on a: -1`<=` cosx `<=` 1 donc 2x-1 `<=` 2x+cosx `<=` 2x+1
en particulier: `{(2x+cosx<=2x+1),(lim_(x->-oo)(2x+1)=-oo):}`

on conclut à l'aide des théorèmes de comparaison: `lim_(x->-oo)f(x)=-oo`

2) pour tout x on a: -1 `<=` sinx`<=` 1 donc 1`<=` 2+sinx`<=` 3

si x`>=0` on aura donc: x`<=` f(x)`<=` 3x d'où
`lim_(x->0^+)f(x)=0` d'après le théorème des gendarmes
et `lim_(x->+oo)f(x)=+oo` d'après les théorèmes de comparaison (utilisation de la minoration)

si x`<=` 0 on aura : 3x`<=` f(x)`<=` x d'où `lim_(x->-oo)f(x)=-oo` d'après les théorèmes de comparaison (utilisation de la majoration)

ex2

1) `lim_(x->-oo)(x^2-x+1)=+oo` et `lim_(x->+oo)sqrt(x)=+oo`

donc `lim_(x->-oo)f(x)=+oo`

2) `lim_(x->+oo)((2x-1)/(x+2))=2` et `lim_(x->2)sqrt(x)=sqrt(2)`

donc `lim_(x->+oo)f(x)=sqrt(2)`

3) `lim_(x->-1^+)(x/(x+1))=-oo` et `lim_(x->-oo)(x^2)=+oo`

donc `lim_(x->-1^+)f(x)=+oo`

`lim_(x->-1^-)(x/(x+1))=+oo` et `lim_(x->+oo)(x^2)=+oo`

donc `lim_(x->-1^-)f(x)=+oo`

ex3

1) a) pas de forme indéterminée: `lim_(x->1)f(x)=0`

b) forme indéterminée "`0/0` "

f(x)=`((-x+sqrt(x))(x+sqrt(x)))/((x-1)(x+sqrt(x)))` =`(x-x^2)/((x-1)(x+sqrt(x)))` =`x/(x+sqrt(x))` pour x`!=` 1

donc `lim_(x->1)f(x)=1/2`

c) technique analogue en utilisant l'expression conjuguée du numérateur et celle du dénominateur. On obtient:

f(x)= `((6-3x)(sqrt(2x+5)+3))/((2x-4)(2+sqrt(3x-2)))` =`-3/2*(sqrt(2x+5)+3)/(2+sqrt(3x-2))`

donc `lim_(x->2)f(x)=-9/4`

d) plus simple que la précédente...

f(x)= `1/((1-x)(sqrt(x+1)+1))` après simplification

donc `lim_(x->0)f(x)=1/2`

2) forme indéterminée "`oo-oo` " on utilise le tableau donné

a) f(x)=|x|`sqrt(1+2/x+2/x^2)+x(2-3/x)` on travaille avec x<0 donc |x|=-x

donc f(x)=x(- `sqrt(1+2/x+2/x^2)+2-3/x)` et `lim_(x->-oo)f(x)=-oo`

b) f(x)=`((sqrt(4x^2-4)-2x+3)(sqrt(4x^2-4)+2x-3))/(sqrt(4x^2-4)+2x-3)` =`(12x-13)/(sqrt(4x^2-4)+2x-3)`

On lève ensuite l'indétermination `oo/oo` en factorisant par les termes les plus influents:

f(x)=`(x(12-13/x))/(|x|sqrt(4-4/x^2)+x(2-3/x))` ici on travaille avec x>0 donc |x|=x et

f(x)=`(12-13/x)/(sqrt(4-4/x^2)+2-3/x)` donc `lim_(x->+oo)f(x)=3`

3) On procède de façon analogue en factorisant par les termes les plus influents; on obtient:

a) `lim_(x->+oo)f(x)=3`

b) f(x)= `(x(-1+1/sqrt(x)))/(x(1-1/x))` donc `lim_(x->+oo)f(x)=-1`

ex4:

1) sur ]-`oo; -2` [, x`|->` `x^2+x+2` est continue

sur` ]-2; +oo [` [, x`|->` `(x+4)^2` est continue

le seul problème qui se pose est en x=-2

on a:`lim_(x->-2^-)f(x)=lim_(x->-2)(x^2+x+2)=4`

et `lim_(x->-2^+)f(x)=lim_(x->-2)(x+4)^2=4=f(-2)`

on peut donc en déduire que f est continue en -2 et donc continue sur `RR`

2) les problèmes de continuité se situent en -3; 3 et 1
(`sqrt(x+8)-3` ne s'annule pas pour x>1)

`lim_(x->-3^-)f(x)=lim_(x->-3^+)f(x)=lim_(x->-3)((x+3)(x-1))/(x+3)=-4` mais f n'est pas définie en -3 donc ne peut pas être continue en ce point...on pourrait toutefois envisager un prolongement par continuité de f en -3

f n'est pas définie pour x=3 et `lim_(x->3^-)f(x)=oo` donc on aura une asymptote verticale en ce point

pour x=1 on a: `lim_(x->1^-)f(x)=0=f(1)`

d'autre part `(sqrt(x+8)-3)/(sqrt(4x-3)-x)=((x-1)(sqrt(4x-3)+x))/((sqrt(x+8)+3)(4x-3-x^2))=(sqrt(4x-3)+x)/((sqrt(x+8)+3)(-x+3))`

en utilisant les expressions conjuguées et en simplifiant par (x-1)

donc `lim_(x->1^+)f(x)=1/6`

on en déduit que f n'est pas continue en 1

ex5:

1) `f(x)=E(x)+(x-E(x))^2 `

sur [-1; 0[ `f(x)=-1+(x+1)^2`

sur [0; 1[ `f(x)=x^2`

sur [1; 2[ `f(x)=1+(x-1)^2`

l'étude des limites prouve que f est continue sur [-1; 2[

2) g(x)=E(3x)

n`<=`x`<`n +1 ssi `n/3<=x<(n+1)/3`

les points de discontinuité sont donc les réels de la forme `n/3` où n est un entier...