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Limites-Continuité

1) Limites                    2)Continuité                 3)Correction des exercices

 

 

LIMITES

 

  • Définitions
  1. Soit L un réel

    On a:   `lim_(x->+oo)f(x)=L`    ssi   tout intervalle ouvert contenant le réel L  contient toutes les valeurs f(x) dès que x est assez grand

  2. On a: `lim_(x->+oo)f(x)=+oo`   ssi tout intervalle ]A ;`+oo` [ contient toutes les valeurs f(x) dès que x est assez grand

    Remarques:
         On a des définitions sur le même modèle pour `lim_(x->-oo)f(x)=L`

    `lim_(x->+oo)f(x)=-oo` , `lim_(x->-oo)f(x)=+oo` , `lim_(x->-oo)f(x)=-oo`

          Ces définitions servent essentiellement en terminale à la démonstration de quelques théorèmes; données sous une forme plus "rigoureuse" elles vous seront beaucoup plus utiles dans la suite de vos études....
  3. Soit a un réel
    On a: `lim_(x->a)f(x)=L` ssi  tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f(x) dès que x est suffisamment proche de a

          Remarques:
      Si on travaille avec x>a ou x<a on parlera de limite à droite ou de limite à gauche en a

       Si f admet une limite L en a, alors cette limite est unique
       Si de plus, f est définie en a, alors cette limite est égale à f(a)

 

 

 

  • Théorème des gendarmes, théorèmes de comparaison
On prouve un encadrement On détermine les limites: On conclut
g(x)`<=` f(x)`<=` h(x) `lim_(x->a)g(x)=lim_(x->a)h(x)=l`
avec l réel
`lim_(x->a)f(x)=l`
g(x)`<=` f(x) `lim_(x->a)g(x)=+oo` `lim_(x->a)f(x)=+oo`
f(x)`<=` g(x) `lim_(x->a)g(x)=-oo` `lim_(x->a)f(x)=-oo`

 

Remarque:
       cette méthode concerne essentiellement les fonctions trigonométriques....

 

 

ex1

  1. la fonction f: x`|-> 2x + cos x` admet-elle une limite en - `oo` ?
  2. la fonction f: x`|->x(2 + sin x)` admet-elle une limite en `+ oo` ? en - `oo` ? en 0?
  • Limites d'une fonction composée
  1. écrire f sous la forme f= `g@u`
  2. Déterminer `{(lim_(x->a)u(x)=b),(lim_(y->b)g(y)=c):}`   , puis conclure `lim_(x->a)f(x)=c`

ex2

 

    Déterminer les limites suivantes:

`lim_(x->- oo) sqrt(x^2-x+1)` ;    `lim_(x->+ oo) sqrt((2x-1)/(x+2))` ;    `lim_(x->-1) (x/(x+1))^2`
(penser à étudier une limite à droite et à gauche...)

 

 

 

  • Indétermination et fonctions irrationnelles
  Forme indéterminée Méthode
Limite en un point a `0/0` (1) On utilise le plus souvent l'expression conjuguée au numérateur ou/et au dénominateur
(2)On met en facteur l'expression (x-a) au numérateur et au dénominateur.
(3)Après avoir simplifié on conclut
Limite à l'infini `oo/oo` On factorise par le terme le plus "influent" au numérateur et au dénominateur.
On n'oublie pas que `sqrt(x^2)= |x|` !!!!
Limite à l'infini +`oo` - `oo` On factorise par la puissance du terme de plus haut degré ou on utilise une expression conjuguée.
Voir ci-après pour le choix de la technique

 

 

ex3

  1. déterminer les limites suivantes:
    a) f(x)=`(2x-2)/(sqrt(x+3) -1)`   en 1;                     b) f(x)=`(-x+sqrt(x))/(x-1)`   en 1;

    c) f(x)=`(2-sqrt(3x-2))/(sqrt(2x+5)-3)`  en 2;                    d) f(x)=`(sqrt(x+1)-1)/(x-x^2)`   en 0.
  2. même question avec:
    a) f(x)= `sqrt(x^2+2x+2) +2x-3`   en - `oo`

    b) g(x)= `sqrt(4x^2-4) -2x+3`    en  + `oo`

    Indication:
      Fonction Terme "le plus influent" Méthode pour l'indétermination en `+-oo`
    f `sqrt(x^2+2x+2)`

    2x-3
    `sqrt(x^2)=|x|`

    2x
     Les termes les plus "influents" sont différents:une factorisation permet de conclure
    g `sqrt(4x^2-4)`

    -2x+3
    `sqrt(4x^2)=2|x|`

    -2x
     Les termes les plus" influents" sont opposés. Il faut utiliser l'expression conjuguée

     

  3. Déterminer les limites de:
    a) f(x)=`(3x+2)/(sqrt(x^2+3) -4)`   en  +`oo` ;               b) f(x)= `(-x+sqrt(x))/(x-1)`   en  +`oo` 

 

CONTINUITE


  • Définition

Soit f définie sur un intervalle ouvert contenant a
f est continue en a ssi `lim_(x->a)f(x)=f(a)`

 

Méthode: on peut être amené à déterminer une limite à gauche et une limite à droite en a
              on montre alors: `lim_(x->a^-)f(x)=lim_(x->a^+)f(x)=f(a)`

 

ex4 


Etudier la continuité des fonctions suivantes sur leurs ensembles de définition:

  1. `{(f(x)=x^2+x+2if x<-2),(f(x)=(x+4)^2if x>=-2):}`  avec `D_(f)=RR`

  2. `{(f(x)=(x^2+2x-3)/(x+3)if x<=1),(f(x)=(sqrt(x+8)-3)/(sqrt(4x-3) -x)if x>1):}`  avec  `D_(f)=RR- {-3; 3}`

 

  • Fonction "partie entière"

Pour tout réel x il existe un unique entier n tel que `n<=x<=n+1`
on appelle fonction partie entière la fonction notée E qui au réel x de l'intervalle [n; n+1[

 associe l'entier n: on note E(x) = n

 

Attention: E(-4.3)=-5 ....

 

Cette fonction est discontinue en tout point de `ZZ`

 

ex5:

1°)  f(x)=E(x)+(x-E(x))2     f est-elle continue sur [-1;2[ ?

2°)  g(x)=E(3x)      en quels réels la fonction g est-elle discontinue?

 

  • Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire

Théorème:

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I, avec a<b.

Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de [a; b]tel que f(c)=k.

 

Corollaire: (Théorème de la bijection)

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur l'intervalle [a; b],
alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k possède une solution unique dans l'intervalle [a; b]

 

Applications:  
                 1) dénombrer les solutions d'une équation f(x)=k

 Dans certains cas on peut la résoudre directement!....

 Sinon:

  • on dresse le tableau des variations de f
  • on exploite ce tableau en utilisant le corollaire

                 2)approximation des solutions d'une équation f(x)=k

  • on encadre la solution en utilisant le tableau de variations et le corollaire
  • on utilise le tableau de valeurs de la calculatrice pour obtenir un encadrement plus précis
  • on justifie en appliquant le corollaire sur l'intervalle obtenu

                 3) étudier le signe d'une dérivée

la fonction dérivée sera étudiée en tant que fonction auxiliaire

  • on cherche à encadrer les solutions de l'équation f'(x)=0
  • on en déduit le signe de f' à partir du tableau des variations

 

 

CORRIGES

 

ex1

  1)  pour tout x on a: -1`<=` cosx `<=` 1    donc    2x-1 `<=` 2x+cosx `<=` 2x+1
en particulier: `{(2x+cosx<=2x+1),(lim_(x->-oo)(2x+1)=-oo):}`

on conclut à l'aide des théorèmes de comparaison: `lim_(x->-oo)f(x)=-oo`

 

   2)  pour tout x on a: -1 `<=` sinx`<=` 1     donc 1`<=` 2+sinx`<=` 3

si x`>=0`   on aura donc:     x`<=` f(x)`<=` 3x  d'où
`lim_(x->0^+)f(x)=0` d'après le théorème des gendarmes
      et  `lim_(x->+oo)f(x)=+oo` d'après les théorèmes de comparaison (utilisation de la minoration)

si x`<=` on aura :   3x`<=` f(x)`<=` x   d'où `lim_(x->-oo)f(x)=-oo` d'après les théorèmes de comparaison (utilisation de la majoration)

 

ex2


  1) `lim_(x->-oo)(x^2-x+1)=+oo`  et  `lim_(x->+oo)sqrt(x)=+oo`

         donc   `lim_(x->-oo)f(x)=+oo`

 

  2) `lim_(x->+oo)((2x-1)/(x+2))=2`   et    `lim_(x->2)sqrt(x)=sqrt(2)`

         donc     `lim_(x->+oo)f(x)=sqrt(2)`


  3)   `lim_(x->-1^+)(x/(x+1))=-oo`   et   `lim_(x->-oo)(x^2)=+oo`

          donc   `lim_(x->-1^+)f(x)=+oo`


         `lim_(x->-1^-)(x/(x+1))=+oo`  et   `lim_(x->+oo)(x^2)=+oo`

           donc   `lim_(x->-1^-)f(x)=+oo`

 

ex3

 

   1) a) pas de forme indéterminée: `lim_(x->1)f(x)=0`

       b)  forme indéterminée "`0/0` "

f(x)=`((-x+sqrt(x))(x+sqrt(x)))/((x-1)(x+sqrt(x)))` =`(x-x^2)/((x-1)(x+sqrt(x)))` =`x/(x+sqrt(x))`   pour x`!=` 1

donc `lim_(x->1)f(x)=1/2`

       c) technique analogue en utilisant l'expression conjuguée du numérateur et celle du dénominateur. On obtient:

f(x)= `((6-3x)(sqrt(2x+5)+3))/((2x-4)(2+sqrt(3x-2)))` =`-3/2*(sqrt(2x+5)+3)/(2+sqrt(3x-2))`

donc `lim_(x->2)f(x)=-9/4`

       d) plus simple que la précédente...Smile

f(x)= `1/((1-x)(sqrt(x+1)+1))` après simplification

donc `lim_(x->0)f(x)=1/2`

 

  2) forme indéterminée "`oo-oo` " on utilise le tableau donné

       a) f(x)=|x|`sqrt(1+2/x+2/x^2)+x(2-3/x)`  on travaille avec x<0 donc |x|=-x

donc f(x)=x(- `sqrt(1+2/x+2/x^2)+2-3/x)`  et `lim_(x->-oo)f(x)=-oo`

        b) f(x)=`((sqrt(4x^2-4)-2x+3)(sqrt(4x^2-4)+2x-3))/(sqrt(4x^2-4)+2x-3)` =`(12x-13)/(sqrt(4x^2-4)+2x-3)`

On lève ensuite l'indétermination `oo/oo` en factorisant par les termes les plus influents:

f(x)=`(x(12-13/x))/(|x|sqrt(4-4/x^2)+x(2-3/x))`   ici on travaille avec x>0 donc |x|=x et

f(x)=`(12-13/x)/(sqrt(4-4/x^2)+2-3/x)`   donc `lim_(x->+oo)f(x)=3`

 

 3) On procède de façon analogue en factorisant par les termes les plus influents; on obtient:

         a)   `lim_(x->+oo)f(x)=3`

         b)    f(x)=  `(x(-1+1/sqrt(x)))/(x(1-1/x))`           donc     `lim_(x->+oo)f(x)=-1`

 

 

ex4:

 1) sur ]-`oo; -2` [,  x`|->` `x^2+x+2` est continue

      sur` ]-2; +oo [` [, x`|->` `(x+4)^2`  est continue

      le seul problème qui se pose est en x=-2

      on a:`lim_(x->-2^-)f(x)=lim_(x->-2)(x^2+x+2)=4`

          et `lim_(x->-2^+)f(x)=lim_(x->-2)(x+4)^2=4=f(-2)`

on peut donc en déduire que f est continue en -2 et donc continue sur `RR`

 

 2) les problèmes de continuité se situent en -3; 3 et 1
      (`sqrt(x+8)-3` ne s'annule pas pour x>1)

 

`lim_(x->-3^-)f(x)=lim_(x->-3^+)f(x)=lim_(x->-3)((x+3)(x-1))/(x+3)=-4`  mais f n'est pas définie en -3 donc ne peut pas être continue en ce point...on pourrait toutefois envisager un prolongement par continuité de f en -3

 

f n'est pas définie pour x=3 et `lim_(x->3^-)f(x)=oo` donc on aura une asymptote verticale en ce point


pour x=1 on a: `lim_(x->1^-)f(x)=0=f(1)`

d'autre part `(sqrt(x+8)-3)/(sqrt(4x-3)-x)=((x-1)(sqrt(4x-3)+x))/((sqrt(x+8)+3)(4x-3-x^2))=(sqrt(4x-3)+x)/((sqrt(x+8)+3)(-x+3))`

en utilisant les expressions conjuguées et en simplifiant par (x-1)

donc `lim_(x->1^+)f(x)=1/6`

on en déduit que f n'est pas continue en 1

 


 

ex5:

  1) `f(x)=E(x)+(x-E(x))^2 `

sur [-1; 0[  `f(x)=-1+(x+1)^2`

sur [0; 1[  `f(x)=x^2`

sur [1; 2[  `f(x)=1+(x-1)^2`

l'étude des limites prouve que f est continue sur [-1; 2[

 

  2) g(x)=E(3x)

n`<=`x`<`n +1  ssi    `n/3<=x<(n+1)/3`


les points de discontinuité sont donc les réels de la forme `n/3` où n est un entier...

 

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