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Nombres complexes

Définitions      Opérations       Module et argument       Interprétation géométrique

Transformations     Trigonométrie    Equations du second degré       Méthodes et exercices

 

DEFINITIONS


  1. Un nombre complexe z est un nombre de la forme x+iy, où x et y sont deux réels et i est un nombre imaginaire vérifiant i2=-1.
  2. cette écriture est appelée forme algébrique de z


    L'ensemble des nombres complexes est noté `CC` .


    x est la partie réelle de z, notée Re(z)

    y est la partie imaginaire de z, notée Im(z)

    Attention: x et y sont des réels

     

  3. z est réel si et seulement si  Im(z)=0


    z est imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0

    z=z' si et seulement si `{(Re(z)=Re(z')),(Im(z)=Im(z')):}`


  4. Dans un plan muni d'un repère orthonormé direct `(O;vec(u),vec(v))`, appelé plan complexe :

    le nombre complexe x+iy est l'affixe du point M(x;y) ou du vecteur `vec(OM)` ;

    on écrit x+iy=`z_(M)` `=` `z_(vec(OM))`  ou encore M(x+iy)


    (Ox) est l'axe réel

    (Oy) est l'axe imaginaire.

  5. Pour tout nombre complexe z de forme algébrique x+iy, on appelle conjugué de z le nombre complexe x-iy, noté `barz` .

    Le point M1(`barz` ) est le symétrique de M(z) par rapport à l'axe des abscisses (Ox)


    Un nombre complexe et son conjugué ont même partie réelle et des parties imaginaires opposées



OPERATIONS SUR LES NOMBRES COMPLEXES



  1. Somme, produit, quotient

  2. z=x+iy, z'=x'+iy', k réel


    z+z'=(x+x') + i(y+y')

    k.z= (kx) + i(ky)

    zz'= (xx'-yy') + i(xy'+x'y)


    remarque: en pratique on effectue les calculs en appliquant les règles habituelles dans `RR` et en remplaçant i2 par -1


    `1/z=(barz)/(zbarz)`=`x/(x^2+y^2)-i y/(x^2+y^2)`


    `(z')/z=z'xx1/z`  
    en pratique pour mettre `(z')/z` sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué `barz` de z



  3. Propriétés du conjugué:

`barbarz=z` ; `z+barz=2xxRe(z)` ; `z-barz=2ixxIm(z)` ;


z réel ssi `barz=z`

z imaginaire pur ssi `barz=-z`


`bar(z+z')=barz+barz'``bar(zz')=barzxxbarz'` ;  si z`!=` 0, `bar((1/z))=1/barz` et `bar(((z')/z))=bar(z')/barz`



MODULE ET ARGUMENT



  1. Définitions:
  2. Soit M(z) dans le plan complexe avec z=x+iy, z non nul


    OM=|z|=`sqrt(x^2+y^2)`        |z|est appelé module de z   (|0|existe et vaut 0...)

    `(vecu;vecOM)=theta +2kpi`     `theta` est un argument de z     (0 n'a pas d'argument)

    (|z|;  `theta` )  sont les coordonnées polaires de M dans (O; `vecu` )


    soit z complexe non nul,

    la forme algébrique de z est z= x+iy

    la forme trigonométrique de z est z= |z|(cos`theta``theta` ) +isin

    et on a: x=|z|cos`theta`   et    y=|z|sin`theta`

       

  3. Propriétés:

pour z et z' non nuls, k entier


  • z=z' ssi `{(|z|=|z'|),(arg(z)=arg(z')+2kpi):}`



  • `|zz'|=|z|xx|z'|` ; `arg(zz')=arg(z)+arg(z') + 2kpi` , kentier


  • `|1/z|=1/|z|`  et  `arg(1/z)=- arg(z) +2kpi`



  • `|z/(z')|=(|z|)/(|z'|)`  et `arg(z/(z'))=arg(z)-arg(z') +2kpi`


  • `|barz|=|z|=|-z|`  et   `{(arg(barz)=-arg(z) ),(arg(-z)=arg(z)+pi ):}`    (mod `2pi` )

 

 

INTERPRETATION GEOMETRIQUE

 

A,B,C trois points distincts deux à deux d'affixes respectives zA , zB , zC

alors:|zB-zA|=AB  et arg(zB-zA)=`(vecu,vec(AB))` `+ 2kpi` (1)

       `|(z_B-z_C)/(z_A-z_C)|=(CB)/(CA)`     et     `arg((z_B-z_C)/(z_A-z_C))=(vec(CA),vec(CB)) + 2kpi` (2)

 

démonstration:

pour (1): introduire M tel que `vec(OM)=vec(AB)`  donc `z_M=z_B-z_A`

pour (2): on utilise le module d'un quotient...

              puis :`arg((z_B-z_C)/(z_A-z_C))=arg(z_B-z_C)-arg(z_A-z_C)=(vecu,vec(CB))-(vecu,vec(CA))`

                          

                          `=(vecu,vec(CB))+(vec(CA),vecu)=(vec(CA),vec(CB)) + 2kpi`

 

 

 

TRANSFORMATIONS DU PLAN

 

Soit une transformation F du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z'.

On appelle fonction complexe associée à F, la fonction f de `CC` dans `CC` qui à z associe z'.


Translation: t translation de vecteur `vecu` d'affixe b

`t(M)=M' hArr vec(MM')=vecu hArr z'=z+b`



Homothétie: h homothétie de centre `Omega`(`omega` ) et de rapport k (k réel non nul)


`h(M)=M'hArr vec(OmegaM')=kvec(OmegaM) hArr z'-omega=k(z-omega) `


Cas particulier:   si `Omega=O` alors on obtient simplement :   z'=kz



Rotation: r rotation de centre `Omega(omega)` et d'angle `theta`

pour` M!=Omega` :

`r(M)=M' hArr OmegaM=OmegaM' et (vec(OmegaM),vec(OmegaM'))=theta `

                        `hArr |(z'-omega)/(z-omega)|=1`   et  `arg((z'-omega)/(z-omega))=theta `

                        ` hArr (z'-omega)/(z-omega)=e^(itheta)`

                        ` hArr z'-omega=e^(itheta)(z-omega)`


pour `M=Omega` on a `r(M)=M= Omega` et l'égalité précédente reste vraie


Cas particulier: si `Omega=O` alors on obtient simplement :   `z'= e^(itheta)z`

 

 

 

 

APPLICATIONS A LA TRIGONOMETRIE

 

 

Formule de Moivre:

Pour tout réel `theta` et tout entier n on a:   `(costheta+isintheta)^n=cosntheta+isinntheta`

 

Formules d'Euler:

Pour tout nombre réel `theta` on a: `e^(itheta)=costheta+isintheta`    et   `e^(-itheta)=costheta-isintheta`

                                   d'où:    `costheta=(e^(itheta)+e^(-itheta))/2`   et  `sintheta=(e^(itheta)-e^(-itheta))/(2i)`

 

Ces formules sont utilisées pour des problèmes de linéarisation (exprimer `cos^ntheta` ou `sin^ntheta` sous forme de sommes de termes de la forme: `acos(mtheta)` et `bsin(ptheta)` ..)

 

 

 

EQUATIONS DU SECOND DEGRE À COEFFICIENTS REELS

 

 

Formules de résolution:

a, b, c étant trois réels donnés avec a non nul, on pose:     `Delta =b^2-4ac`

 

Dans `CC` , l'équation az2+bz+c =0 admet toujours deux solutions (confondues si `Delta=0` ):

`z_1=(-b-delta)/(2a)`       et       `z_2=(-b+delta)/(2a)`

 

 

`delta` est un nombre complexe dont le carré est le discriminant:    `delta^2=Delta`

 

 

 

 

METHODES

 

  • Comment utiliser les différentes formes d'un nombre complexe
Forme algébrique

a+ib

Vérifier que a et b sont des réels

Facilite les calculs de somme et de différence
Permet de faire le lien entre les complexes et les coordonnées cartésiennes
Forme trigonométrique

r(cosθ+isinθ)

Vérifier que r est positif

Etablit un lien entre les complexes et la géométrie et permet les calculs de distances et d'angles
Forme exponentielle `re^(itheta)`

Vérifier que r est positif

Facilite les calculs de produits, de quotients et de puissances de nombres complexes

 

 

Ex1: Relier les nombres complexes à leurs différentes formes

Complexes Forme algébrique Forme trigonométrique Forme exponentielle
`(1+i)^3` -2-2i `2sqrt(2)(cos(pi/4)+isin(pi/4))` `sqrt(2)e^(i(3pi)/4)`
`-2sqrt(2)(cos(pi/4)+isin(pi/4))` 2+i `2sqrt(2)(cos((3pi)/4)+isin((3pi)/4))` `2sqrt(2)e^(-i(3pi)/4)`
`(8+4i)/(3-i)` -2+2i `2sqrt(2)(cos(-(3pi)/4)+isin(-(3pi)/4))` `2sqrt(2)e^(ipi/4)`

 

 

 

  • Comment identifier des complexes particuliers
Pour prouver que z est un .... réel imaginaire pur
on peut prouver que.... soit Im(z)=0

soit  `barz=z`

soit arg(z)=0 (`pi` ) ou z=0
soit Re(z)=0

soit `barz=-z`

soit arg(z)=`pi/2` (`pi` ) ou z=0

 

Ex2: Pour tout complexe z différent de 1+i, on associe le complexe `z'= (z-2i)/(z-1-i)`

        Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que:

        a) z' soit un réel non nul

        b) z' soit un imaginaire pur non nul

 (utiliser les arguments)

 

Ex3: Pour tout complexe z différent de 1+i, on associe le complexe `z'=(2z-2i)/(z-1-i)`

        On pose z=x+iy et z'=x'+iy'

        Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que:

        a) z' soit un réel

        b) z' soit un imaginaire pur

 

 

  • Comment préciser la position relative de trois points

Dans le plan complexe, zA, zB et zC sont trois nombres complexes distincts, d'images respectives A, B, C. On note `Z=((z_C-z_B)/(z_B-z_A))`

La condition: équivaut à:
|Z|=1 AB=AC
Z est un réel A, B, C sont alignés
Z est un imaginaire pur (AB) et (AC) sont perpendiculaires
Z=`+-` i ABC est rectangle et isocèle de sommet A
`Z=e^(+-ipi/3)` ABC est un triangle équilatéral

 

Ex4: Que peut on dire des points A, B et C dans les cas suivants?

      a) zA=2+i; zB=1-i; zC=2+2i                         c) zA=-1+i`sqrt(3)` ; zB=-1-i`sqrt(3)` ; zC=2

      b) zA=2+i; zB=1+i; zC=1-i                           d) zA=-1-2i; zB=-10-8i; zC=2

 

 

  • Comment utiliser les transformations
On identifie la transformation étudiée T est la translation de vecteur `vecu` H est l'homothétie de centre `Omega` et de rapport k non nul R est la rotation de centre `Omega` et d'angle `theta`
On détermine l'écriture complexe associée `vecu` est un vecteur d'affixe b
`z'=z+b`
`Omega` est le point d'affixe `omega`
`z'-omega =k(z-omega )`
`Omega` est le point d'affixe `omega`
`z'-omega=e^(itheta)(z-omega)`


Ex5: Trouver pour chaque transformation son écriture complexe.

(1) Homothétie de centre `Omega` (-1+2i) et de rapport -2 (A) ` z'=iz+1+3i`
(2) Rotation de centre `Omega` (-1+2i) et d'angle `pi/2` (B) `z'=e^(ipi/4)z+(1/2-1/2i)sqrt(2)+i`
(3) Homothétie de centre `Omega` (i) et de rapport `sqrt(2)` (C) `z'=z-1+2i`
(4) Translation de vecteur `vecu` (-1+2i) (D) `z'=-2z-3+6i`
(5) Rotation de centre `Omega` (i) et d'angle `pi/4` (E) `z'=sqrt(2)z+i(1-sqrt(2))`

 

Ex6: On considère les points A et B d'affixes zA=2+i et zB=6+3i

       À tout point M d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z'=iz+2 et on note f(M)=M'

       1) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f

       2) Déterminer les affixes zC et zD des points C et D tels que f(A)=C et f(B)=D

       3) Montrer que la rotation de centre J d'affixe 3+5i et d'angle - `pi/2` transforme A en D
           et B en C

 

correction ex6:

1) on cherche s'il y a un point invariant `Omega(omega)`

on a `omega=iomega+2`

donc

`omega=2/(1-i)=1+i `

On en déduit : `z'-omega=i(z-omega)`

donc f est la rotation de centre `Omega` et d'angle `arg(i)=pi/2`

2) `z_C=i(2+i-1-i)+1+i=2i+1`    et   ` z_D=i(6+3i-1-i)+1+i=6i-1`


3) r rotation de centre J et d'angle `pi/2`

son écriture complexe est: `z'=3+5i-i(z-3-5i)`


`z'_A=3+5i-i(2+i-3-5i)=-1+6i=z_D`

`z'_B=3+5i-i(6+3i-3-5i)=1+2i=z_C`


 

 

Exercice de cours du mardi 12/01

 

Résoudre dans `CC` l'équation: `z^2+4z+16=0`


`Delta` =-48 donc deux racines complexes conjuguées `z_1=-2+2isqrt(3)` et  `z_2=-2-2isqrt(3)`


On prend A(`z_1` ), B(`z_2` )

Calculer l'affixe `z_3` du point C tel que ABC soit équilatéral direct


C est donc l'image de B par la rotation de centre A et d'angle `pi` /3


`z_3-z_1=e^(ipi/3)(z_2-z_1) `

donc `z_3=-2+2isqrt(3)+(1/2+isqrt(3)/2)(-4isqrt(3))=4`

(remarque on pouvait prévoir que C serait sur la médiatrice de [AB])


Calculer le périmètre P et l'aire S de ABC


P= 3 AB =3 |`z_2-z_1` |=3 |-4i`sqrt(3)` |=12`sqrt(3)`

`S= 1/2AB^2xx sqrt(3)/2=12sqrt(3)`    (rappel: hauteur d'un triangle équilatéral de côté a = a`sqrt(3)/2` )

(remarque, ici, la hauteur vaut 6 ce qui se lit facilement sur un graphique!)


f est l'application d'écriture complexe z'=z-i

Reconnaitre f


f est la translation de vecteur  `vecu(-i)`


Calculer l'affixe du point D tel que f(A)=D et celle du point E tel que f(E)=C


`z_D= -2+ 2isqrt(3)-i=-2+i(2sqrt(3)-1) `


4=`z_E-i` donc `z_E` =4+i


Quelle est la nature du quadrilatère ADCE et quelle est son aire?


ADCE parallélogramme car:       `vec(AD)=vec(EC)=vecu`


aire(ADCE)= `ADxx6=6`

 


 

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