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Calcul intégral

  • Comment déterminer des primitives?

Soit f et Fdeux fonctions dérivables sur l'intervalleI

- si la fonction F est donnée, alors on vérifie que, pour tout x `in`  I, F'(x)=f(x)

- sinon:

On met f sous la forme: Puis on détermine une primitive F sous la forme:
`"u'u^n"`  avec `n in ZZ` , `n!=-1` `u^(n+1)/(n+1)`
`(u')/u` `ln|u|`
`u'e^u` `e^u`
`e^(ax+b)` `1/ae^(ax+b)`
`cos(ax+b)` `1/a sin(ax+b)`

`sin(ax+b)`

`-1/a cos(ax+b)`

 

 

  • Comment calculer une intégrale?

Méthode 1:

  1. On cherche une primitive F de f sur [a;b]
  2. On calcule `int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)`

Méthode 2:

Lorsque l'on ne peut pas déterminer une primitive directe, on peut avoir recours à une intégration par parties. Pour cela, on décompose la fonction f à intégrer en produit de deux fonctions sous la forme f=u'v

  1. Vérifier que les fonctions u, u', v, v' sont continues sur l'intervalle d'intégration
  2. Calculer u(x) et v'(x)
  3. Appliquer la formule d'intégration par parties
    `int_a^bu'(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]^b_a-int_a^bu(x)v'(x)dx`

Quelques pistes: on note P un polynôme

Si la fonction à intégrer est du type: On pose:
`P(x)lnx` v(x)=lnx
u'(x)=P(x)
`P(x)e^x` v(x)=P(x)
u'(x)=
`e^x`
`P(x)cosx ` ou `P(x)sinx` v(x)=P(x)
u'(x)=cosx ou u'(x)=sinx

 

 

 

  • Comment calculer l'aire d'un domaine donné?
Si le domaine est compris entre... On vérifie que... On peut écrire:
 les droites d'équation x=a et x=b, la courbe représentative de la fonction f et l'axe des abscisses
 f est positive sur [a;b]
 `A=int_a^bf(x)dx`
en unité d'aire
 f est négative sur [a;b]
 `A=-int_a^bf(x)dx`
en unité d'aire
 les droites d'équation x=a et x=b, la courbe représentative de la fonction f et la courbe représentative de la    fonction g
 pour tout `x in [a;b]` , f(x)<g(x)
 `A=int_a^b(g(x)-f(x))dx` en unité d'aire

 

On détermine l'unité d'aire en utilisant les unités choisies pour le graphique


  • Comment étudier une suite définie par une intégrale?

On utilise toutes les propriétés de l'intégrale:


relation de Chasles
linéarité
positivité

relation d'ordre...

 

  • Comment étudier une fonction définie par une intégrale?

On pose F(x)=`int_a^xf(t)dt`  pour `x in I ` et `a in I` , I étant un intervalle

- on vérifie que f est continue sur I

- par définition F est la primitive de f sur l'intervalle I qui s'annule en a, donc F'(x)=f(x)

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