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Suites numériques

  • Comment démontrer une propriété Pn par récurrence?
  1. conjecturer le résultat, s'il n'est pas donné, en procédant à des "essais" sur les premières valeurs de n
  2. bien respecter les deux étapes du raisonnement par récurrence:
    initialisation        ET       hérédité
  3. formuler correctement l'hypothèse de récurrence
    selon les cas on supposera la propriété vraie pour un entier k et on prouvera qu'elle est encore vraie pour k+1
                    ou  on supposera la propriété vraie pour tous les entiers inférieurs ou égaux à k et on prouvera qu'elle est alors vraie pour k+1 (principe "fort")
  4. En général, si Pn est une inégalité on part de l'hypothèse de récurrence de Pn pour obtenir Pn+1
                     
    si Pn est une égalité, on part de l'expression la plus compliquée de l'égalité concernant Pn+1 et on conclut en utilisant l'hypothèse de récurrence
                   

Ex1: Montrer par récurrence que, pour tout n `in ` `NN` *,
                 `sum_(k=1)^nk(k+1)=(n(n+1)(n+2))/3`

 

Ex2: Soit (un) la suite définie par u0=0 et, pour tout n `>=`1: `u_(n+1)=1/(1+1/u_n)`

        Après avoir calculé les trois premiers termes, établir une conjecture sur l'expression de un en fonction de n et la démontrer par récurrence

 

Ex3: Soit (un) la suite définie par: `{(u_0=1),(u_(n+1)=u_n^2+3):}`  pour tout n `>=` 1

        Montrer par récurrence que, pour tout n de `NN` on a un`>=` 2n

 

 

  • Comment étudier une suite arithmétique ou géométrique?
 Pour montrer qu'une suite (un) est....
 ...une suite arithmétique
de raison r
 ...une suite géométrique
de raison q
 On prouve que...
 un+1-un=r  un+1=qun
 On écrit un en fonction de n:
 un=up+(n-p)r
si p=0, un=u0+nr
 un=up(q)n-p
si p=0, un=u0qn
 On détermine la somme S de termes consécutifs d'une suite:
S=(nbre de termes)x`((1er terme)+(dernier terme))/2`
 S=(1er terme)x`(1-q^(nbre de termes))/(1-q)`


(ascenseur en bas de page...Smile)


Application: suites arithmético-géométriques forme un+1=aun+b

 


  • Comment prouver une majoration ou une minoration?

Pour prouver que la suite (un) est majorée ou minorée par M, on peut:

  1. Comparer un et M en utilisant les propriétés sur les inégalités;
  2. Etudier le signe de un-M
  3. Utiliser un raisonnement par récurrence

 

Ex4: On considère la suite (un)définie par:
           u0=0  et  pour tout n`in NN` , un+1=`sqrt(3un+4)`

          Montrer par récurrence que 0`<=` Un`<=` 4

 

 

  • Comment étudier le sens de variation d'une suite?

On peut:

  1. Utiliser les variations de la fonction f pour des suites de la forme un=f(n)
  2. Etudier le signe de un+1-un
  3. Prouver par récurrence en utilisant les inégalités
  4. Prouver par récurrence en utilisant le sens de variation d'une fonction bien choisie

Exemple: on reprend la suite (un) de l'exercice 4
              on pose `f(x)=sqrt(3x+4)` sur [0; +`oo` [

              la fonction f est croissante sur [0; +`oo` [ comme composée de fonctions  croissantes et on note Pn: "un`lt=` un+1"

 

  Par récurrence
(1) Etude du signe de un+1-un (2) En utilisant les inégalités (3) En utilisant le sens de variation d'une fonction

 un+1-un=`sqrt(3un+4)-u_n`

un+1-un=`(3u_n+4-u_(n)^2)/(sqrt(3u_n+4)+u_n)`

Comme `sqrt(3u_n+4)+u_ngt0 `
le signe de` u_(n+1)-u_n` est celui de `3u_n+4-u_(n)^2`

  Or` 3x+4-x^2` est positif entre -1 et 4 et on a vu à l'exercice 4 que `0lt=u_nlt=4`  donc `3u_n+4-u_(n)^2gt=0`

 

Par suite (un) est croissante

Initialisation:On a u0=0 et u1=2. au rang n=0 on a u0`lt=` u1, donc la propriété est vraie au rang n=0
Hérédité: Supposons que pour un n fixé on ait un`lt=` un+1 et démontrons que un+1`lt=` un+2

 Comme un`lt=` un+1, alors:


3un+4`lt=` 3un+1+4


`sqrt(3u_n+4)lt=sqrt(3u_(n+1)+4)`
car la fonction
x`|->sqrt(x)` est croissante sur [0; +`oo` [
donc    un+1`lt=` un+2

Conclusion:
Pour tout n` in NN` ,
un`lt=` un

 Comme un`lt=` un+1, alors:

f(un)`lt=` f(un+1)
car la fonction x`|->` f(x) est croissante sur [0; +`oo` [

donc   un+1`lt=` un+2

Conclusion:
Pour tout n` in NN` ,
un`lt=`
un+1

 

 

 

  • Comment montrer que deux suites sont adjacentes?

On applique la définition des suites adjacentes et on prouve que:

  1. La suite (un) est croissante
  2. La suite (vn) est décroissante
  3. `lim_(n->+oo)u_n-v_n=0`

 

Ex5: On considère les suites (un) et (vn) définies par `u_n=sum_(k=1)^(k=n)1/k^2`   et   ` v_n=u_n+1/n`

          Montrer que ces deux suites sont adjacentes

 

 


  • Comment établir la convergence d'une suite?

Pour prouver qu'une suite (un) est convergente, on peut:

  1. Montrer que la suite est croissante et majorée
  2. Montrer que la suite est décroissante et minorée

De plus: si la suite (un) est du type un+1= f(un) et si (un) converge vers l et si f est continue en l, alors l vérifie f(l)=l

 


  • Comment obtenir des encadrements d'un nombre réel?
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