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Géométrie dans l'espace

PRODUIT SCALAIRE

 

 

EQUATIONS DE PLANS

 

 

DROITES DANS L'ESPACE

 

 

BARYCENTRES DANS L'ESPACE

 

 

METHODES

 

Comment déterminer une équation cartésienne d'un plan?

 

  • Si on connait un vecteur normal `vecn` `((a),(b),(c))` et un point A du plan `frP` , alors une équation cartésienne de` frP` est de la forme ax+by+cz+d=0.
    On détermine la valeur de d en écrivant que le plan passe par A

(autre possibilité: on traduit que M(x,y,z) est dans` frP` si et seulement si `vec(AM).vecn=0` )


  • Si on connait trois points A, B et C:
    1. On vérifie que les trois points ne sont pas alignés
    2. on détermine un vecteur normal `vecn` au plan` frP` en écrivant:
      `{(vec(AB).vecn=0),(vec(AC).vecn=0):}`    les coordonnées de `vecn` étant déterminées à une constante multiplicative non nulle près)

(on peut aussi écrire un système traduisant que les coordonnées des points A,B,C vérifient l'équation de `frP` cherchée sous la forme ax+by+cz+d=0)

 

Ex1:Déterminer une équation cartésienne du plan `frP` passant par A(1;-4;2) et de vecteur normal `vecn((1),(-3),(0))`

Ex2: Déterminer une équation cartésienne du plan `frP'` parallèle au plan d'équation cartésienne -3x+y-z+7=0 et passant par A(0; 2; -2)

 

Ex3: Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC) avec:

            A(-1; 3; 2)    B(-4; 0; 1)   et C(1; 2; -1)

 

 

Comment déterminer une représentation paramétrique de droite?

 

Si on connait un point A(xA;xB;xC) et un vecteur directeur `vecu` (a,b,c) d'une droite `frD` de l'espace alors une représentation paramétrique de la droite` frD` est:

            `{(x=x_A+at),(y=y_A+bt),(z=z_A+ct):}`     avec t`inRR`    (t paramètre réel)

 

(représentation obtenue en écrivant que:

M(x;y;z) est sur `frD` `hArr` `vec(AM)` et `vecu` sont colinéaires)

 

Ex4: On considère les points A(0; 1; -1)   B(4; -1; -3)  et  C(-1; -1; -1)

Donner une représentation paramétrique:

1) de la droite (AB);     2) du segment [AC];    3) de la demi-droite ]BC)

 


Comment déterminer l'intersection de deux plans?

 

Soit `vecn` et `vecn'` deux vecteurs normaux respectivement aux plans `frP ` et `frP'` .

  • Si `vecn ` et `vecn'` sont colinéaires alors les plans `frP` et `frP'` sont parallèles;
    1. On détermine un point A de `frP` ; si A` in` `frP'` , alors `frP` et `frP'` sont confondus.
    2. Si A `!in` `frP'` , alors `frP` et `frP'` sont strictement parallèles.
  • Si `vecn` et `vecn'` ne sont pas colinéaires, alors `frP` et `frP'` sont sécants suivant une droite. On résout alors le système formé par les deux équations de plans et on utilise une des coordonnées comme paramètre pour déterminer une représentation paramétrique de la droite d'intersection des deux plans

 

Ex5: On considère les plans `frP_1` , `frP_2` , `frP_3` d'équations:

 `frP_1` : x+3y-z+1=0 ;     ` frP_2` : x+4y+z-3=0 ;     `frP_3 ` : -x-3y+z+2=0

Déterminer l'intersection éventuelle des plans `frP_1 ` et `frP_2` , puis de` frP_1` et `frP_3`

 

 

Comment déterminer l'intersection de deux droites?


Soit `vecu ` et `vecu` ' deux vecteurs directeurs respectifs des droites` frD` et `frD` '.

  1. Si `vecu` et `vecu` ' sont colinéaires alors les droites `frD` et `frD'` sont parallèles.
    a) On détermine un point A de `frD`;  si A `in` `frD` ', alors `frD``frD` ' sont confondues.
    b)Si A `!in` `frD` ', alors `frD` et `frD` ' sont strictement parallèles
    .
  2. Si `vecu` et `vecu'` ne sont pas colinéaires alors les droites `frD``frD` ' sont sécantes ou non coplanaires. C'est en cherchant un point d'intersection éventuel qu'on saura dans quel cas on se trouve. 

 

Ex6: On donne les droites d1, d2, d3 de représentations:

d1: `{(x=t),(y=1-2t),(z=1+t):}` ;    d2: `{(x=1+t'),(y=-1-2t'),(z=3+t'):}` ;     d3:`{(x=-7+7k),(y=4-3k),(z=-1+2k):}` ; avec t,t',k réels

Déterminer les intersections éventuelles des droites d1 et d2; d2 et d3 puis de d1 et d3.

 

 

Comment déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan?

 

Soit `vecu ` un vecteur directeur d'une droite `frD` et `vecn` unvecteur normal de `frP.`

  • Si `vecu.vecn=0` , alors` frD` et `frP` sont parallèles.
    1. On détermine un point A de `frD` , si A in `frP` alors` frD` est inclus dans `frP`
    2. Si A `!in` ` frP` , alors `frD` et `frP` sont strictement parallèles.
  • si `vecu.vecn !=0` alors` frD` et `frP` sont sécantes en un point. En plaçant les coordonnées paramétriques de la droite `frD ` dans l'équation du plan` frP` , on obtient la valeur du paramètre qui permet de déterminer les coordonnées du point d'intersection.

 

Ex7: Soit le plan `frP` d'équation x-y+z=5 et les droites frD et fr D' de représentations:

`frD``{(x=-8+2t),(y=-4+t),(z=9-t):}` avec `t in RR`   et `frD'` : `{(x=-8+2k),(y=6-k),(z=9-k):}` avec  `k in` `RR`

Déterminer l'intersection éventuelle de la droite `frD` et du plan` frP` puis de la droite `frD'` et du plan `frP` .

 

 

Ex8: on considère le plan` frP` dont une équation cartésienne est x+2y+z-4=0 et le point A(1;0;-2)
  1. Déterminer un vecteur normal `vecn` au plan `frP` .
  2. Donner une représentation paramétrique de la droite` frD` passant par A et perpendiculaire au plan `frP`
  3. En déduire les coordonnées du point H projeté orthogonal du point A sur le plan `frP`

 

 

Comment déterminer l'intersection de trois plans?

 

  • Si deux des plans, par exemple` frP_1` et `frP_2 ` , sont strictement parallèles, alors ces trois plans ont une intersection vide.
  • Sinon on cherche la droite `frd`   intersection de` frP_1` et `frP_2`
    1. Si `frd sub frP_3` ,alors l'intersection des trois plans est la droite `frd`
    2. Si  `frd ` et` frP_3` sont sécants en un point A, alors l'intersection des trois plans est A
    3. Si  ` frd` et `frP_3` sont strictement parallèles, alors les trois plans n'ont pas d'intersection.
    (on peut aussi résoudre un système de trois équations à trois inconnues...)

 

Ex9: Soit les plans `frP_1` , `frP_2` , `frP_3` d'équations:

  `frP_1` : x+y+z=0 ,      ` frP_2` : -2x+y-z+5=0      et     ` frP_3 ` : x-5y-z-10=0

Déterminer l'intersection éventuelle des plans` frP_1 ` , `frP_2` , `frP_3`

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