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Dérivées et Primitives

1) Définitions 2) Compléments 3) Méthode d'Euler
4) Fonctions trigonométriques 5) Primitives 6) Correction des exercices

DEFINITIONS - RAPPELS

Soit f fonction définie sur un intervalle ouvert I et a un réel de I

On appelle h un réel non nul tel que a+h appartient à I

. f est dérivable en a

ssi `(f(a+h)-f(a))/h` admet une limite finie quand h tend vers 0

ssi `(f(x)-f(a))/(x-a)` admet une limite finie quand x tend vers a

. Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et est notée f'(a)

. f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse a

. Une équation de cette tangente est : y=f'(a) (x-a) +f(a)

. Formules de calcul: formulaire

. f', f'', f''', ....f^[n] sont les dérivées successives de f si elles existent

Remarque: en cinématique, si f(t) représente la distance parcourue, f'(t) et f"(t) sont respectivement la vitesse instantanée et l'accélération instantanée du mobile à l'instant t.

COMPLEMENTS

Comment étudier la dérivabilité d'une fonction?

On commence par vérifier la continuité en a...

SI...	ALORS....
`lim_(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a)=l` avec `l in RR`	f est dérivable en a et f'(a)=l
`lim_(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a)=+-oo`	f n'est pas dérivable en a. Mais C_f admet au point d'abscisse a une tangente verticale.
`lim_(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a)` n'existe pas	f n'est pas dérivable en a

Pour le calcul des limites il faudra souvent utiliser une limite à droite et une limite à gauche...

ex1:

Etudier la dérivabilité de f définie sur [0; 3] par: `f(x)=xsqrt(3x-x^2)`

ex2:

Soit f définie sur `RR^+` par:

pour tout x de [0;1[, `f(x)=x-2sqrt(x)+1`
et pour tout x de [1; +`oo` [, `f(x)=sqrt((x-1)^3)`

Etudier la continuité de f

Etudier la dérivabilité de f

Interpréter graphiquement les résultats obtenus concernant la dérivabilité en 0 et en 1

Dérivée d'une fonction composée

Si u est dérivable en x et v dérivable en u(x), alors vou est dérivable en x et on a:

(vou)'(x)=u'(x) `xx` v'(u(x))

Ecriture différentielle

f est dérivable en x₀ de I ssi il existe une fonction `epsi` telle que, pour tout h vérifiant `x_0+h in I` , on ait:

f(x₀+h)=f(x₀)+hf'(x₀) +h`epsi`(h) avec `lim_(h->0)epsi(h)=0`

On obtient l'approximation:

f(x₀+h)`~=` f(x₀)+hf'(x₀)

(cette approximation est d'autant meilleure que h est plus proche de 0)

Elle conduit à l'écriture symbolique: `dy=f'(x) dx`
où `dy` représente une variation infinitésimale de y et `dx ` une variation infinitésimale de x

Soit en physique les notations: `dy/dx = f'(x)` et `(d^2y)/(dx^2) = f''(x)`

Dérivabilité et continuité

Si une fonction est dérivable sur I, alors elle est continue sur I.

Attention: la réciproque est fausse

Utilisation du nombre dérivé pour le calcul de certaines limites

On vérifie si l'expression donnée est de la forme `(f(x)-f(a))/(x-a)` avec f fonction dérivable en a.

Dans ce cas la limite cherchée vaut f'(a)

ex3:

déterminer `lim_(x->pi)(cosx+1)/(x-pi)` ; `lim_(x->0)sinx/x` ; `lim_(x->2)(sqrt(x+2)-2)/(x-2)` ; `lim_(x->pi)sin(2x)/(x-pi)`

METHODE D'EULER

On connait la dérivée f' d'une fonction et la valeur de f en un point x₀ donné mais on ne connait pas de formule de calcul pour f.

On peut construire une représentation approchée de f:

on construit A₀ (x₀, f(x₀))
on choisit un réel h 'voisin de 0' ce sera le pas
on construit A₁(x₁ , y₁) avec x₁=x₀+h et y₁=f(x₀)+h f'(x₀) en utilisant l'approximation affine de f en x₀
on réitère le procédé à partir de A_1...

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES

On réduit l'intervalle d'étude en utilisant les propriétés des fonctions sinus et cosinus
Rappel: cosinus est paire, sinus est impaire
ces deux fonctions ont pour période 2`pi`

On calcule la dérivée
Rappel: sin'=cos, cos'= -sin, tan'=1+tan² =`1/cos^2`

On factorise éventuellement la dérivée en utilisant si nécessaire les formules de trigonométrie (duplication...)

On étudie le signe de la dérivée
On pourra utiliser:
        cos(x)=cos(a) ssi (x=a+2k`pi` ou x=-a+2k`pi` )
        sin(x) =sin(a) ssi (x=a+2k`pi` ou x=`pi` - a +2k`pi` )
        tan(x)=tan(a) ssi x= a+k`pi`
Pour les inéquations il faut utiliser le cercle trigonométrique.

PRIMITIVES

Définitions et propriétés

1) Soit f et F deux fonctions définies sur un intervalle

F est une primitive de f sur I ssi F est dérivable sur I et a pour dérivée f.

Pour tout x de I, F'(x)=f(x)

2)Toute fonction continue sur I admet une infinité de primitives sur I.(admis)

3) Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x ` |-gt` F (x)+k, avec k réel

4) Pour tout x₀ de I et tout y₀ de `RR` , il existeune unique primitive F₀ de f sur I telle que F₀(x₀)=y₀

Détermination des primitives de f sur I

on en justifie l'existence en prouvant que f est continue sur I
on détermine une primitive de f sur I à l'aide des formules de calcul
on donne la forme générale en ajoutant une constante à la primitive trouvée
si on connait l'image d'un réel x₀ on détermine la valeur de cette constante

CORRIGES

ex1: 3x-x²=x(3-x) ne s'annule pas sur ]0; 3[ ; f est donc dérivable sur cet intervalle en tant que produit de fonctions dérivables

étude de la dérivabilité en 0:

`f(x)/x=sqrt(3x-x^2)` donc `lim_(x->0)(f(x)-f(0))/(x-0)` =0
f est dérivable en 0 et f'(0)=0

étude de la dérivabilité en 3:

`(f(x)-f(3))/(x-3)=(xsqrt(x(3-x)))/(x-3)=(x^2(3-x))/((x-3)sqrt(x(3-x)))=-x^2/sqrt(x(3-x))`

donc `lim_(x->3)(f(x)-f(3))/(x-3)=-oo` f n'est pas dérivable en 3 mais la courbe C_f admet une demi-tangente verticale en x=3

ex2: `lim_(x->1^-)f(x)=lim_(x->1^-)(x-2sqrt(x)+1)=0`
et `lim_(x->1^+)f(x)=lim_(x->1^+)sqrt(x-1)^3=f(1)=0`
donc f est continue en 1

étude de la dérivabilité en 0:

`lim_(x->0^+)(f(x)-f(0))/x=lim_(x->0^+)(1-2/sqrt(x))=-oo`
donc f n'est pas dérivable en 0 et C_f admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse 0

étude de la dérivabilité en 1:

`lim_(x->1^-)(f(x)-f(1))/(x-1)=lim_(x->1^-)(sqrt(x)-1)^2/((sqrt(x-1)(sqrt(x)+1)))=lim_(x->1^-)(sqrt(x)-1)/(sqrt(x)+1)=0`

et `lim_(x->1^+)(f(x)-f(1))/(x-1)=lim_(x->1^+)((x-1)sqrt(x-1))/(x-1)=lim_(x->1^+)sqrt(x-1)=0`

donc f est dérivable en 1 et f'(1)=0; la courbe C_f admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1

ex3:

`lim_(x->pi)(cosx+1)/(x-pi)=cos'(pi)=-sin(pi)=0`
`lim_(x->0)sinx/x=sin'(0)=cos0=1`
`lim_(x->2)(sqrt(x+2)-2)/(x-2)=f'(2)=1/(2sqrt(4))=1/4` avec f(x)=`sqrt(x+2)`
`lim_(x->pi)(sin(2x)-sin(2pi))/(x-pi)=f'(pi)=2cos(2pi)=2` avec f(x)=sin(2x)