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Dérivées et Primitives

1) Définitions     2) Compléments     3) Méthode d'Euler
4) Fonctions trigonométriques     5) Primitives     6) Correction des exercices


 

DEFINITIONS - RAPPELS

 

Soit f fonction définie sur un intervalle ouvert I et a un réel de I

On appelle h un réel non nul tel que a+h appartient à I


. f est dérivable en a

     ssi  `(f(a+h)-f(a))/h` admet une limite finie quand h tend vers 0

     ssi  `(f(x)-f(a))/(x-a)`  admet une limite finie quand x tend vers a


. Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et est notée f'(a)


. f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse a


. Une équation de cette tangente est : y=f'(a) (x-a) +f(a)


. Formules de calcul: formulaire


. f', f'', f''', ....f[n]  sont les dérivées successives de f si elles existent

Remarque: en cinématique, si f(t) représente la distance parcourue, f'(t) et f"(t) sont respectivement la vitesse instantanée et l'accélération instantanée du mobile à l'instant t.


 

COMPLEMENTS

 

  • Comment étudier la dérivabilité d'une fonction?

On commence par vérifier la continuité en a...

SI... ALORS....
`lim_(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a)=l`   avec `l in RR` f est dérivable en a et f'(a)=l
`lim_(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a)=+-oo` f n'est pas dérivable en a. Mais Cf admet au point d'abscisse a une tangente verticale.
`lim_(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a)`  n'existe pas f n'est pas dérivable en a


Pour le calcul des limites il faudra souvent utiliser une limite à droite et une limite à gauche...

 

ex1:

Etudier la dérivabilité de f définie sur [0; 3] par: `f(x)=xsqrt(3x-x^2)`

 

ex2:

Soit f définie sur `RR^+` par: 

      pour tout x de [0;1[, `f(x)=x-2sqrt(x)+1`
et   pour tout x de [1; +`oo` [, `f(x)=sqrt((x-1)^3)`

Etudier la continuité de f

Etudier la dérivabilité de f

Interpréter graphiquement les résultats obtenus concernant la dérivabilité en 0 et en 1

 

  • Dérivée d'une fonction composée

Si u est dérivable en x et v dérivable en u(x), alors vou est dérivable en x et on a:

(vou)'(x)=u'(x) `xx` v'(u(x))

 

  • Ecriture différentielle

f est dérivable en x0 de I ssi il existe  une fonction `epsi` telle que, pour tout h vérifiant `x_0+h in I` , on ait:

f(x0+h)=f(x0)+hf'(x0) +h`epsi`(h) avec `lim_(h->0)epsi(h)=0`

 

On obtient l'approximation:

f(x0+h)`~=` f(x0)+hf'(x0)

(cette approximation est d'autant meilleure que h est plus proche de 0)

 

Elle conduit à l'écriture symbolique: `dy=f'(x) dx`
`dy` représente une variation infinitésimale de y et `dx ` une variation infinitésimale de x

Soit en physique les notations: `dy/dx = f'(x)`   et `(d^2y)/(dx^2) = f''(x)`

 

  • Dérivabilité et continuité

Si une fonction est dérivable sur I, alors elle est continue sur I.

Attention: la réciproque est fausse

 

  • Utilisation du nombre dérivé pour le calcul de certaines limites

On vérifie si l'expression donnée est de la forme `(f(x)-f(a))/(x-a)` avec f fonction dérivable en a.

Dans ce cas la limite cherchée vaut f'(a)

 

ex3:

déterminer `lim_(x->pi)(cosx+1)/(x-pi)`  ; `lim_(x->0)sinx/x`  ; `lim_(x->2)(sqrt(x+2)-2)/(x-2)`  ; `lim_(x->pi)sin(2x)/(x-pi)`

 

 

METHODE D'EULER

 

On connait la dérivée f' d'une fonction et la valeur de f en un point x0 donné mais on ne connait pas de formule de calcul pour f.


On peut construire une représentation approchée de f:

  1. on construit A0 (x0, f(x0))
  2. on choisit un réel h 'voisin de 0' ce sera le pas
  3. on construit A1 (x1 , y1) avec x1=x0+h et y1=f(x0)+h f'(x0) en utilisant l'approximation affine de f en x0
  4. on réitère le procédé à partir de A1...

 

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES

 

  1. On réduit l'intervalle d'étude en utilisant les propriétés des fonctions sinus et cosinus
    Rappel:    cosinus est paire, sinus est impaire
                    ces deux fonctions ont pour période 2`pi`   

  2. On calcule la dérivée
    Rappel:    sin'=cos, cos'= -sin, tan'=1+tan2 =`1/cos^2`  

  3. On factorise éventuellement la dérivée en utilisant si nécessaire les formules de trigonométrie (duplication...)   

  4. On étudie le signe de la dérivée
    On pourra utiliser:
            cos(x)=cos(a)  ssi  (x=a+2k`pi`   ou  x=-a+2k`pi` )
            sin(x) =sin(a)  ssi  (x=a+2k`pi`   ou  x=`pi` - a +2k`pi` )
            tan(x)=tan(a)  ssi  x= a+k`pi`
    Pour les inéquations il faut utiliser le cercle trigonométrique.


 

PRIMITIVES

 

  • Définitions et propriétés

  • 1) Soit f et F deux fonctions définies sur un intervalle

              F est une primitive de f sur I ssi F est dérivable sur I et a pour dérivée f.

 Pour tout x de I, F'(x)=f(x)


         2)Toute fonction continue sur I admet une infinité de primitives sur I.(admis)

 

         3) Si F est une primitive de f sur I, alors  les primitives de f sur I sont les  fonctions de la forme x ` |-gt` F (x)+k, avec k réel

        4) Pour tout x0 de I et tout y0 de `RR` , il existeune unique primitive F0 de f sur I telle que  F0(x0)=y0

 

  • Détermination des primitives de f sur I
  1. on en justifie l'existence en prouvant que f est continue sur I
  2. on détermine une primitive de f sur I à l'aide des formules de calcul
  3. on donne la forme générale en ajoutant une constante à la primitive trouvée
  4. si on connait l'image d'un réel x0 on détermine la valeur de cette constante

 

 

CORRIGES

 

ex1:   3x-x2=x(3-x) ne s'annule pas sur ]0; 3[ ; f est donc dérivable sur cet intervalle en tant que produit de fonctions dérivables

 

étude de la dérivabilité en 0:

`f(x)/x=sqrt(3x-x^2)`   donc  `lim_(x->0)(f(x)-f(0))/(x-0)` =0
f est dérivable en 0 et f'(0)=0

 

étude de la dérivabilité en 3:

`(f(x)-f(3))/(x-3)=(xsqrt(x(3-x)))/(x-3)=(x^2(3-x))/((x-3)sqrt(x(3-x)))=-x^2/sqrt(x(3-x))`

donc `lim_(x->3)(f(x)-f(3))/(x-3)=-oo`   f n'est pas dérivable en 3 mais la courbe Cf admet une demi-tangente verticale en x=3

 

 

ex2:  `lim_(x->1^-)f(x)=lim_(x->1^-)(x-2sqrt(x)+1)=0`
et      `lim_(x->1^+)f(x)=lim_(x->1^+)sqrt(x-1)^3=f(1)=0`
donc f est continue en 1

 

étude de la dérivabilité en 0:

`lim_(x->0^+)(f(x)-f(0))/x=lim_(x->0^+)(1-2/sqrt(x))=-oo`
donc f n'est pas dérivable en 0 et Cf admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse 0

 

étude de la dérivabilité en 1:

`lim_(x->1^-)(f(x)-f(1))/(x-1)=lim_(x->1^-)(sqrt(x)-1)^2/((sqrt(x-1)(sqrt(x)+1)))=lim_(x->1^-)(sqrt(x)-1)/(sqrt(x)+1)=0`

et `lim_(x->1^+)(f(x)-f(1))/(x-1)=lim_(x->1^+)((x-1)sqrt(x-1))/(x-1)=lim_(x->1^+)sqrt(x-1)=0`

donc f est dérivable en 1 et f'(1)=0; la courbe Cf admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1

 

 

ex3:

  1. `lim_(x->pi)(cosx+1)/(x-pi)=cos'(pi)=-sin(pi)=0`
  2. `lim_(x->0)sinx/x=sin'(0)=cos0=1`
  3. `lim_(x->2)(sqrt(x+2)-2)/(x-2)=f'(2)=1/(2sqrt(4))=1/4`   avec f(x)=`sqrt(x+2)` 
  4. `lim_(x->pi)(sin(2x)-sin(2pi))/(x-pi)=f'(pi)=2cos(2pi)=2`  avec f(x)=sin(2x)
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