Nouveau programme

FONCTIONS

Fonctions: Image, antécédent, courbe représentative.

•  Traduire le lien entre deux quantités par une formule.

• Pour une fonction définie par une  courbe, un tableau de données ou une formule :
  identifier la variable et, éventuellement, l’ensemble de définition ;
  déterminer l’image d’un nombre ;
  rechercher des antécédents d’un nombre.

(Les fonctions abordées sont généralement des fonctions numériques d’une variable réelle pour lesquelles l’ensemble de définition estdonné.
Quelques exemples de fonctions définies sur un ensemble fini ou sur N, voire de fonctions de deux variables(aire en fonction des dimensions) sont à donner.)

Étude qualitative de fonctions:Fonction croissante, fonction décroissante ; maximum, minimum d’une fonction sur un intervalle.

•  Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement d’une fonction définie par une courbe.

•  Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations.

(Les élèves doivent distinguer les courbes pour lesquelles l’information sur les variations est exhaustive, de celles obtenues sur un écran graphique.)

• Lorsque le sens de variation est donné, par une phrase ou un tableau de variations :
  comparer les images de deux nombres d’un intervalle ;
  déterminer tous les nombres dont l’image est supérieure (ou inférieure) à une image donnée.

(Les définitions formelles d’une fonction croissante, d’une fonction décroissante, sont progressivement dégagées. Leur maîtrise est un objectif de fin d’année.
 Même si les logiciels traceurs de courbes permettent d’obtenir rapidement la représentation graphique d’une fonction définie par une formule algébrique, il est intéressant, notamment pour les fonctions définies par morceaux, de faire écrire aux élèves un algorithme de tracé de courbe.)

 

Expressions algébriques: Transformations d’expressions algébriques en vue d’une résolution de problème.

• Associer à un problème une expression algébrique. Identifier la forme la plus adéquate (développée, factorisée) d’une expression en vue de la résolution du problème donné.

• Développer, factoriser des expressions polynomiales simples ; transformer des expressions rationnelles simples.

(Les activités de calcul nécessitent une certaine maîtrise technique et doivent être l’occasion de raisonner.
Les élèves apprennent à développer des stratégies s’appuyant sur l’observation de courbes, l’anticipation et l’intelligence du calcul. Le cas échéant, cela s’accompagne d’une mobilisation éclairée et pertinente des logiciels de calcul formel.)

Équations: Résolution graphique et algébrique d’équations.

•  Mettre un problème en équation.

• Résoudre une équation se ramenant au premier degré.

•  Encadrer une racine d’une équation grâce à un algorithme de dichotomie.

(Pour un même problème, combiner résolution graphique et contrôle algébrique. Utiliser, en particulier, les représentations graphiques données sur écran par une calculatrice, un logiciel.)

Fonctions de référence: Fonctions linéaires et fonctions affines. Variations de la fonction carré, de la fonction inverse.

•  Donner le sens de variation d’une fonction affine.

•  Donner le tableau de signes de ax + b pour des valeurs numériques données de a et b.

(On fait le lien entre le signe de ax + b, le sens de variation de la fonction et sa courbe représentative.)

•  Connaître les variations des fonctions carré et inverse.

•  Représenter graphiquement les fonctions carré et inverse.

(Exemples de non-linéarité. En particulier, faire remarquer que les fonctions carré et inverse ne sont pas linéaires.)

Études de fonctions: Fonctions polynômes de degré 2. Fonctions homographiques.

•  Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes.

(Les résultats concernant les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes sont donnés en classe et connus des élèves, mais peuvent être partiellement ou totalement admis.
Savoir mettre sous forme canonique un polynôme de degré 2 n’est pas un attendu du programme.)

•  Identifier l’ensemble de définition d’une fonction homographique.

(Hormis le cas de la fonction inverse, la connaissance générale des variations d’une fonction homographique et sa mise sous forme réduite ne sont pas des attendus du programme.)

 

Inéquations: Résolution graphique et algébrique d’inéquations.

•  Modéliser un problème par une inéquation.

•  Résoudre graphiquement des inéquations de la forme : f (x) < k ; f (x) < g(x).

•  Résoudre une inéquation à partir de l’étude du signe d’une expression produit ou quotient de facteurs du premier degré.

• Résoudre algébriquement les inéquations nécessaires à la résolution d’un problème.

(Pour un même problème, il s’agit de :
combiner les apports de l’utilisation d’un graphique et d’une résolution algébrique,
mettre en relief les limites de l’information donnée par une représentation graphique.
Les fonctions utilisables sont les fonctions polynômes de degré 2 ou homographiques.)

Trigonométrie: « Enroulement de la droite numérique » sur le cercle trigonométrique et définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel.

•  On fait le lien avec les valeurs des sinus et cosinus des angles de 0°, 30°,45°, 60°, 90°.

( On fait le lien avec la trigonométrie du triangle rectangle vue au collège. La notion de radian n’est pas exigible.)

 

GEOMETRIE

 

Coordonnées d’un point du plan: Abscisse et ordonnée d’un point dans le plan rapporté à un repère orthonormé. Distance de deux points du plan. Milieu d’un segment.

•  Repérer un point donné du plan, placer un point connaissant ses coordonnées.

•  Calculer la distance de deux points connaissant leurs coordonnées.

• Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.

(Un repère orthonormé du plan est défini par trois points (O, I, J) formant un triangle rectangle isocèle de sommet O.
À l’occasion de certains travaux, on pourra utiliser des repères non orthonormés.)

Configurations du plan: Triangles, quadrilatères, cercles.

Pour résoudre des problèmes :

•  Utiliser les propriétés des triangles, des quadrilatères, des cercles.

•  Utiliser les propriétés des symétries axiale ou centrale.

(Les activités des élèves prennent appui sur les propriétés étudiées au collège et peuvent s’enrichir des apports de la géométrie repérée.
 Le cadre de la géométrie repérée offre la possibilité de traduire numériquement des propriétés géométriques et permet de résoudre certains problèmes par la mise en oeuvre d’algorithmes simples.)

Droites: Droite comme courbe représentative d’une fonction affine. Équations de droites. Droites parallèles, sécantes.

•  Tracer une droite dans le plan repéré.

•  Interpréter graphiquement le coefficient directeur d’une droite.

•   Caractériser analytiquement une droite.

(On démontre que toute droite a une équation soit de la forme y = mx + p, soit de la forme x = c.)

•  Établir que trois points sont alignés, non alignés.

•  Reconnaître que deux droites sont parallèles, sécantes.

(On fait la liaison avec la colinéarité des vecteurs.)

•  Déterminer les coordonnées du point d’intersection de deux droites sécantes.

(C’est l’occasion de résoudre des systèmes d’équations linéaires.)

 

Vecteurs:

• Définition de la translation qui transforme un point A du plan en un point B. Vecteur    associé.

(À tout point C du plan, on associe, par la translation qui transforme A en B, l’unique point D tel que [AD] et [BC] ont même milieu.)

• Égalité de deux vecteurs : ;  savoir que équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

• Coordonnées d’un vecteur dans un repère.
  Connaître les coordonnées (xB - xA, yB - yA) du vecteur .

• Somme de deux vecteurs.
  Calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs dans un repère.

(La somme des deux vecteurs et est le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur   et de vecteur .)

• Produit d’un vecteur par un nombre réel.
  Utiliser la notation
  Établir la colinéarité de deux vecteurs.

(Pour le vecteur  de coordonnées (a, b) dans un repère, le vecteur   est le vecteur de coordonnées (ka, kb) dans le même repère. Le vecteur   ainsi défini est indépendant du repère.)

• Relation de Chasles.
  Construire géométriquement la somme de deux vecteurs.
  Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs.

Géométrie dans l’espace:

• Les solides usuels étudiés au collège :
  parallélépipède rectangle, pyramides, cône et cylindre de révolution, sphère.

• Manipuler, construire, représenter en perspective des solides.

(C’est l’occasion d’effectuer des calculs de longueur, d’aire et de volumes.)

• Droites et plans, positions relatives.
  Droites et plans parallèles.

(On entraîne les élèves à l’utilisation autonome d’un logiciel de géométrie dans l’espace.)

 

 

STATISTIQUES ET PROBABILITES

 

Statistique descriptive, analyse de données: Caractéristiques de position et de dispersion (médiane, quartiles ; moyenne.)

• Utiliser un logiciel (par exemple, un tableur) ou une calculatrice pour étudier une série statistique.

•  Passer des effectifs aux fréquences, calculer les caractéristiques d’une série définie par effectifs ou fréquences.

•  Calculer des effectifs cumulés, des fréquences cumulées.

•  Représenter une série statistique graphiquement (nuage de points, histogramme, courbe des fréquences cumulées).

(L’objectif est de faire réfléchir les élèves sur des données réelles, riches et variées (issues, par exemple, d’un fichier mis à disposition par l’INSEE), synthétiser l’information et proposer des représentations pertinentes.)

Échantillonnage: Notion d’échantillon. Intervalle de fluctuation au seuil de 95%* pour la proportion d’un caractère dans une population. Réalisation d’une simulation.

• Concevoir, mettre en oeuvre et exploiter des simulations de situations concrètes à l’aide du tableur.

• Exploiter et faire une analyse critique d’un résultat d’échantillonnage.

(Par définition, un échantillon s’obtient par tirage avec remise.
À l’occasion de la mise en place d’une simulation, on peut :
 -utiliser les fonctions logiques d’un tableur ou d’une calculatrice,
 -mettre en place des instructions conditionnelles dans un algorithme.
L’objectif est d’amener les élèves à un questionnement lors des activités suivantes :
- l’estimation d’une proportion inconnue à partir d’un échantillon ;
- la prise de décision à partir d’un échantillon.)

* L’intervalle de fluctuation au seuil de 95% pour un échantillon de taille n est l’intervalle centré autour de p où se situe, avec une probabilité égale à 0, 95, la proportion observée dans un échantillon de taille n. Cet intervalle peut être obtenu, de façon approchée, par simulation.
Le professeur peut aussi dire aux élèves, sans que ce résultat soit exigible, que, dans la pratique, lors de l’étude d’échantillons de taille n > 25, si f désigne la fréquence dans l’échantillon d’un caractère dont la proportion p dans la population est comprise entre 0, 2 et 0, 8 alors f appartient à l’intervalle   avec une probabilité d’au moins 0, 95 ; il peut, dans ce cas, faire percevoir expérimentalement la propriété.

Probabilité sur un ensemble fini:

 

Probabilité d’un événement

• Déterminer la probabilité d’événements dans des situations d’équiprobabilité.

•  Utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées.

(La probabilité d’un événement est définie comme la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.)

Réunion et intersection de deux événements, formule :

•  Connaître et exploiter cette formule.

(Pour les calculs de probabilités, on utilise des arbres, des diagrammes ou des tableaux.)

 

 

ALGORITHMIQUE

 

Instructions élémentaires (affectation, calcul, entrée, sortie).
Les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables :

•  d’écrire une formule permettant un calcul ;

•  d’écrire un programme calculant et donnant la valeur d’une fonction ; ainsi que les instructions d’entrées et sorties nécessaires au traitement.

Boucle et itérateur, instruction conditionnelle
Les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables :

•  de programmer un calcul itératif, le nombre d’itérations étant donné ;

•  de programmer une instruction conditionnelle, un calcul itératif, avec une fin de boucle conditionnelle.

 

NOTATIONS ET RAISONNEMENT MATHEMATIQUES

 

Notations mathématiques

• Les élèves doivent connaître les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondant : ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles.
  Pour le complémentaire d’un ensemble A, on utilise la notation des probabilités .

Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés, sur des exemples :

•  à utiliser correctement les connecteurs logiques « et », « ou » et à distinguer leur sens des sens courants de «et», «ou» dans le langage usuel ;

•  à utiliser à bon escient les quantificateurs universel, existentiel (les symboles ne sont pas exigibles) et à repérer les quantifications implicites dans certaines propositions et, particulièrement, dans les propositions conditionnelles ;

•  à distinguer, dans le cas d’une proposition conditionnelle, la proposition directe, sa réciproque, sa contraposée et sa négation ;

•  à utiliser à bon escient les expressions « condition nécessaire », « condition suffisante » ;

•  à formuler la négation d’une proposition ;

•  à utiliser un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle ;

•  à reconnaître et à utiliser des types de raisonnement spécifiques : raisonnement par disjonction des cas, recours à la contraposée, raisonnement par l’absurde.