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Rappels

1) Généralités           2)Trinôme         3)Trigonométrie

 

 

ETUDE DE FONCTIONS

 

On note Cf et Cg les courbes représentatives respectives des fonctions f et g.

 

  • Etudier le sens de variation de la fonction sur un intervalle I

Le sens de variation d'une fonction est donné par le signe de la dérivée, on respecte donc les trois étapes suivantes:

  1. calcul de la dérivée à l'aide des formules
  2. étude du signe de la dérivée
  3. conclusion (phrase ou tableau)

Remarques:

      pour l'étude du signe on réduit au même dénominateur et/ou on factorise au maximum; ne pas hésiter à faire un tableau de signes indépendant du tableau de variations.

      ne pas confondre sens de variation de f et signe de f !!!

 

  • Etudier le signe d'une fonction à partir de ses variations
  1. rechercher le maximum ou le minimum (pour qu'il y ait un extremum il suffit que la dérivée s'annule en changeant de signe)
  2. utilisation du théorème des valeurs intermédiaires et de son corollaire sur des intervalles bien choisis (stricte monotonie)

Remarque:

     quand la dérivée s'annule, ne pas oublier sur la courbe les tangentes horizontales aux points correspondants

 

  • Détermination de la tangente à une courbe
  1. équation de la tangente au point d'abscisse a:
    y= f' (a)(x-a)+f(a)
    il faut donc calculer f(a) et f' (a), donc éventuellement f' (x)...
  2. le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a est f' (a)

 

  • Déterminer l'intersection ou la position relative des courbes Cf et Cg
  1. Les coordonnées du point I intersecton des deux courbes doivent vérifier:
    `{(y=f(x)),(y=g(x)):}`  on est donc ramené à résoudre f(x)=g(x)
  2. Etudier la position relative des deux courbes Cf et Cg revient à étudier le signe de la différence f(x)-g(x)
    . si f(x)-g(x)>0 alors Cf se situe au-dessus de Cg
    . si f(x)-g(x)<0 alors Cf se situe au-dessous de Cg

 

  • Trouver un axe ou un centre de symétrie pour la courbe
  1. Axe de symétrie:
    si pour tout h `inRR` tel que (a+h) `in` Df on a:
    `{((a-h) in D_(f)),(f(a+h)=f(a-h)):}`  ,
    alors la droite d'équation x=a est un axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction f.
  2. Centre de symétrie:
    si pour tout h `inRR` tel que (a+h) `in` Df on a:
    `{((a-h) in D_(f)),(f(a+h)+f(a-h)=2b):}`  ,
    alors le point `Omega` (a;b) est un centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction f.

Remarque:
      on peut aussi utiliser un changement de repère pour se ramener à une fonction paire ou impaire mais cette méthode nécessite plus de soin dans la rédaction..

 

  • Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique `alpha` 

On utilise le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires:
si: . f est dérivable sur un intervalle [a;b]
     . f est strictement monotone sur [a;b]

     . f(a)*f(b)<0

alors l'équation f(x)=0 admet une unique solution `alpha` dans l'intervalle [a;b]

 

Remarques: 

      ce théorème est un théorème d'existence qui ne donne pas la valeur de `alpha` ; il faut ensuite utiliser la calculatrice et des techniques de balayage, dichotomie ou autres...
       on verra une forme moins restrictive de ce théorème après l'étude de la continuité.

 

  • Détermination des limites aux bornes de l'ensemble de définition

On utilise les règles usuelles de calculs de limites et on aboutit:
    - soit à un résultat permettant une conclusion directe
    - soit à une forme indéterminée:
       "`oo-oo` " ; "`oo/oo`" ; "`0/0`" ; "`0*oo`"

En l'infini:
      -
pour un polynôme, la limite est donnée par la limite à l'infini du terme de plus haut degré
     - pour une fraction rationnelle, la limite est donnée par la limite à l'infini du rapport des termes de plus haut degré

 

Remarque:
     dans tous les cas les résultats doivent être soigneusement justifiés; soignez la rédaction et mettez en évidence la factorisation par le terme de plus haut degré dans les cas ci-dessus (polynôme ou fraction rationnelle à l'infini)

 

  • Détermination des asymptotes à la courbe
SI ALORS
`lim_(x->oo)` f(x)=b (b`in RR` ) la droite d'équation y=b est une asymptote horizontale à Cf
`lim_(x->a)` f(x)=`oo`  la droite d'équation x=a est une asymptote verticale à Cf
`lim_(x->oo)` [f(x)-(ax+b)]=0 la droite d'équation y=ax+b est une asymptote oblique à Cf

 

Remarque:
      - attention à la cohérence des résultats (limites, variations, dérivée, courbe)
      - sur le graphique ne pas oublier de placer les tangentes horizontales et les asymptotes éventuelles

 

  • Etude de la parité d'une fonction
  1. f est paire ssi Df est centré en 0 et pour tout x de Df, f(-x)=f(x)
    l'axe des ordonnées est axe de symétrie pour la courbe Cf
  2. f est impaire ssi Df est centré en 0 et pour tout x de Df, f(-x)= - f(x)
    l'ordonnée est centre de symétrie pour la courbe Cf
  • Fonctions associées

si g est définie par g(x)= f(x+a)+k , alors on passe de la courbe Cf à la courbe Cg par la translation de vecteur `- a vec(i) +k vec(j)`

 

 

TRINÔME DU SECOND DEGRE

 

  • Résolution de l'équation ax2+bx+c=0
  1. On calcule le discriminant `Delta` =b2-4ac
  2. - si `Delta` <0, alors S=`phi`
    - si `Delta` =0, alors S={- `b/(2a)` }
    - si `Delta` >0, alors S={`(-b-sqrt(Delta))/(2a)` ; `(-b+sqrt(Delta))/(2a)` }

Remarque:
      si `Delta>=0` , la somme des racines vaut `-b/a` et le produit des racines vaut `c/a`

 

  • Etude du signe de ax2+bx+c
  1. On calcule le discriminant `Delta` =b2-4ac
  2. - si `Delta<=0` , alors le trinôme est toujours du signe de a
    - si `Delta` > 0, le trinôme possède deux racines x1 et x2 avec x1< x2 et on a le tableau de signes suivant:
x                                 x1                                     x2
ax2+bx+c
signe de a signe de -a signe de a

 

 

  • Fonction définie par f(x)=ax2+bx+c

   la courbe représentative de f est une parabole dont l'axe de symétrie a pour équation x=- `b/(2a)`

   f atteint son extremum en x=- `b/(2a)`

   f(x)=a[(x+`b/(2a)` )2 - `Delta/(4a^2)` ]     (forme canonique)

 

TRIGONOMETRIE

 

Plutôt que de déprimer en essayant vainement de ne pas mélanger toutes les formules, essayez de les retrouver rapidement en utilisant le cercle trigonométrique...

 

  • Etude de fonctions trigonométriques
  1. on réduit l'intervalle d'étude en utilisant les propriétés des fonctions sinus et cosinus:
                  x`->` cosx est paire
                  x`->` sinx est impaire
                  les deux fonctions sin et cos ont pour période 2`pi` 
  2. pour la recherche de limites on aura le plus souvent recours aux encadrements:
                  -1`<=` cosx `<=` 1   et     -1`<=` sinx `<=` 1     

 

  • Simplifications d'écritures
    calcul du sinus ou du cosinus d'un nombre x donné: 
      - on écrit x sous la forme `theta` +2k`pi``theta epsi ` ]-`pi` ,`pi` ] (mesure principale)  
      - on utilise la périodicité et les sinus et cosinus des angles remarquables

    x 0 `pi/6` `pi/4` `pi/3` `pi/2` `pi`
    cosx 1 `sqrt(3)/2` `sqrt(2)/2` `1/2` 0 -1
    sinx 0 `1/2` `sqrt(2)/2` `sqrt(3)/2` 1 0
     
       -on utilise éventuellement les formules des angles associés (angles complémentaires, supplémentaires, demi-tour, quart de tour)

  • Résolution d'équations

Conseil: utiliser le cercle trigonométrique pour retrouver les cas d'égalité.

Remarque:attention à l'utilisation de la calculatrice lors de la résolution des équations cosx=a ou sinx=b:
 - la fonction arccos (ou cos-1 ) renvoie un nombre de [0, `pi` ]
 - la fonction arcsin (ou sin-1 ) renvoie un nombre de [-`pi/2` , `pi/2` ]

 



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