Fonction exponentielle

1)Définitions    2) Etude de x`|->` e^x    3) Limites     4)Fonctions x`|->` e^u(x) 
5) Equations différentielles y'=ay+b

 

 

DEFINITION-PREMIERES EQUATIONS DIFFERENTIELLES

 

• Définition

Il existe une unique fonction dérivable sur `RR` qui est égale à sa dérivée et qui prend la valeur 1 en 0
Cette fonction est notée exp et est appelée fonction exponentielle
exp'=exp  et  exp(0)

démonstration de l'unicité

1. on prouve que si f convient alors f ne s'annule pas sur `RR` et que pour tout x on a `f(-x)=1/f(x)`
   (introduire u(x)=f(x).f(-x) et montrer que u est constante...)
2. on suppose que f et g conviennent toutes deux au problème
   on introduit h définie par: `h(x)=g(x)/f(x)` et on montre que h est constante
3. on en déduit que g(x)=k.f(x) comme g(0)=f(0)=1 on a le résultat attendu..

 

• Caractérisation algébrique

Théorème

Les fonctions f non nulles et dérivables sur `RR` telles que pour tous réels x et y f(x+y)=f(x).f(y) sont les fonctions de la forme f(x)=exp(kx) où k est un réel.

 

Démonstration:

Attention il faut démontrer une équivalence

1. sens direct:
   on suppose f(x+y)=f(x).f(y) pour tous réels x et y
   on démontre successivement:
   f(0)=1  (x=y=0) 
   puis f'(x)=k.f(x) avec k=f'(0) (on introduit g_a définie par g_a(x)=f(x+a)-f(x).f(a) pour a réel quelconque. Cette fonction est constante de valeur 0; donc g_a'(x)=f'(x+a)-f(a).f'(x)=0 pour tout x
   on en déduit en prenant x =0 que f'(a)=f'(0).f(a) pour tout réel a)
2. réciproque:
   on suppose f(x)=exp(kx) (donc f'=kf)
   on introduit g définie par g(x)=f(x+y)-f(x).f(y) pour y réel fixé quelconque
   on montre successivement:
   g'=k.g
   g(x)=g(0)exp(kx)     (la fonction `x|->g(x)/((exp)(kx))` est constante)
   g(0)=0
   d'où l'égalité f(x+y)=f(x).f(y)...

 

Règles de calcul

on note e=exp(1)
on a alors pour tout entier n, exp(n)=eⁿ    et on généralise la notation:
pour tout x, exp(x)=e^x

on a donc:`e^0=1; e^1=e; 1/e^x=e^(-x); e^xe^y=e^(x+y); e^x/e^y=e^(x-y); (e^x)^n=e^(nx)`

 

Remarque

e est un nombre dit transcendant (de même nature que `pi` )
e`~=` 2,718
e=`lim_(n->+oo)(1+1/n)^n`

 

• Comment déterminer les solutions d'une équation différentielle?

Si on se ramène à une équation différentielle de la forme..	y'=ay	y'=ay+b
Alors les solutions sont les fonctions définies sur `RR` par...	f(x)=k`e^(ax)`   avec k`inRR`	`f(x)=ke^(ax)-b/a`   avec k`inRR`

ex1: Donner la solution générale des équations différentielles suivantes:

         a) y'=2y;      b) y'+y=0;     c) y'+y+1=0;       d) y'-5=3y

 

 

ETUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE

 

x`|->` e^x  est définie, continue et dérivable sur `RR`

exp'(x)=exp(x)>0

e^a=e^b `hArr` a=b   (bijectivité de la fonction exp)

e^a>e^b `hArr` a>b    (stricte croissance)

e^x >1  `hArr` x>0

`lim_(x->+oo)e^x=+oo`      (on peut étudier g(x)=e^x-x pour prouver que e^x>x pour x>0
                                        puis appliquer un théorème de comparaison)

`lim_(x->-oo)e^x=0`        (on utilise le changement de variable X=-x et la propriété
                                        e^-x=`1/e^x` )

Tableau de variation:

x	`-oo`           0          1           `+oo`
ex	+
ex	e           `+oo`              0                   1

 

 

 

Courbe:

 

• Comment résoudre des équations ou des inéquations?

1. On se ramène à une équation de la forme e^f(x)=e^g(x) ou à une inéquation de la forme e^f(x)<e^g(x) en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
   
   

   Pour résoudre	On détermine l'ensemble de définition D	On résout dans D
   une équation de la forme:             ef(x)=eg(x)	D=Df`nn`Dg	l'équation f(x)=g(x)
   une inéquation de la forme:             ef(x)<eg(x)	D=Df`nn`Dg	l'inéquation f(x)<g(x)

2. Pour les équations ou inéquations comportant uniquement des puissances de e^x, on peut poser X=e^x et on résout l'équation ou l'inéquation polynomiale obtenue.On conclut grâce à la croissance et à la bijectivité de la fonction exponentielle.

ex1: résoudre dans `RR` les équations suivantes:

 

e^2x+1=e^-x ;         `e^(1/x)=e^x`  ;           e^2x+e^x+2=0
 

 

ex2: déterminer le signe des expressions suivantes:

e^2x-e^x;                e^2x+e^x-2;             e^x+e^-x-2

 

 

LIMITES CLASSIQUES

•  `lim_(x->0)(e^x-1)/x` =exp'(0)=1
• Pour tout entier naturel n non nul on a:
  `lim_(x->+oo)e^x/x^n` =`+oo`     et    `lim_(x->-oo)e^x.x^n` =0
  (On démontre la première dans le cas n=1 en introduisant la fonction f définie par f(x)=e^x- `x^2/2` ; on montre que f>0 sur ]0; `+oo` [puis on utilise un théorème de comparaison pour avoir la limite cherchée.
  pour la deuxième, on utilise le changement de variable X=-x)

Remarque: on a aussi en utilisant les règles de calcul habituelles :

 `lim_(x->-oo)e^x/x^n` =0;     `lim_(x->0)e^x/x^n` =`oo` ;   `lim_(x->+oo)e^x.x^n`=`+oo`

 

• Comment lever les indéterminations sur les limites?

On peut utiliser:

1. la limite d'une fonction composée:
   ex: `lim_(x->-oo)e^(x^2-x)` ;        `lim_(x->+oo)e^(-x)`       
2. les limites fondamentales:
   ex: `lim_(x->-oo)(x+1)e^x`         
3. un changement de variable:
   ex:  `lim_(x->+oo)e^(1/x)/x` avec  X=`1/x` ;     `lim_(x->-oo)(x+1)e^(x+1)`   avec X=x+1
4. une transformation d'écriture (pensez à bien vérifier qu'il y a effectivement une indétermination avant de transformer l'écriture)
   ex:  `lim_(x->+oo)(2e^x+1)/(e^x-1)`    (on écrit sous la forme `(2+e^(-x))/(1-e^(-x))` pour laquelle il n'y a plus d'indétermination en `+oo`
   

 

ETUDE DE FONCTIONS COMPORTANT DES EXPONENTIELLES

 

 

• Fonctions de la forme f: `x|->e^(u(x))`

f a même ensemble de définition que u

f'(x)=u'(x).e^u(x)

on étudie les limites en utilisant les règles des fonctions composées

 

• Exemples d'études de fonctions:

ex3:   Etude sur `RR`de f définie par f(x)=`(e^x-1)^2`

 

ex4:  Etude de f définie par:  `f(x)=xe^(1/x)` 

           démontrer que la droite d'équation y=x+1 est asymptote à la courbe C_f

 

ex5:  Donner le tableau de variations de la fonction g définie sur [0; +`oo` [ par:

                          g(x)=e^-x-1+x

           En déduire que pour tout réel x`>=` 0:     `0<=1-e^(-x)<=x`

 

RESOLUTION D'EQUATIONS DIFFERENTIELLES

 

ex6: On donne  (E): y'-2y=(2-x)e^2x

          1° Déterminer les réels a et b tels que la fonction: f₀(x)=(ax² +bx)e^2x   soit une solution de (E)

          2° Résoudre  (E'):  y'-2y=0

          3° Monter que f est solution de (E) si et seulement si f- f₀ est solution de (E')

               En déduire l'ensemble des solutions de (E)

          4° Déterminer la solution h de (E) dont la représentation graphique admet
              au  point d'abscisse 0 une tangente de coefficient directeur  -1

 

Correction ex6:

1) f'₀(x)-f₀(x)=(2ax+b+2ax²+2bx)e^2x-2(ax²+bx)e^2x=(2ax+b)e^2x

on identifie à (2-x)e^2x  on obtient a=-1/2 et b=2 donc f₀(x)=(`-1/2` x²+2x)e^2x

2) y=Ke^2x  avec K réel

3) hyp: f solution de (E)

on a donc: f'-2f=f'₀-2f₀ donc f'-f'₀=2(f-f₀) donc f-f₀ est solution de (E')

    réciproque:
   hyp: f-f₀ solution de (E')

on a alors: f'-f'0=2(f-f0) donc f'-2f=f'₀-2f₀=(2-x)e^2x

donc f est solution de (E)

On en déduit f solution de (E) ssi   f-f₀=Ke^2x avec K réel
                                           ssi   f =(-`1/2` x²+2x+K)e^2x 

4) h(x)=(-`1/2` x²+2x+K)e^2x et h'(0)=-1  

or h'(0)=2h(0)+(2-0)e⁰=2K+2 on en déduit 2+2K=-1 donc K=-`3/2`