Fonctions logarithmes

FONCTION    LN

Définition: On appelle logarithme népérien du réel a strictement positif, l'unique solution de l'équation:

e^x= a

on note: x= lna

On définit donc la fonction ln sur ]0; +oo[; c'est la bijection réciproque de la fonction exp

Propriétés:

• ln1=0;    lne=1;   ln(e^x)=x

• ln est définie et continue sur ]0; +`oo` [    (admis)
• ln est dérivable sur ]0; +oo[ et ln'(x) =` 1/x`
• ln est la primitive de `x|-gt1/x` sur ]0; +`oo` [ qui s'annule pour x=1
• ln est strictement croissante sur ]0; +`oo` [
• lnx < 0  ssi  lnx< ln1  ssi  0<x<1
• lna =lnb  ssi a=b   (bijectivité)
• lna < lnb  ssi a<b   (stricte croissance)
• Pour h voisin de 0, ln(1+h)`~~` h    (approximation affine)

Propriétés algébriques:

Théorème: Les fonctions f dérivables sur ]0; +`oo` [ qui pour tous réels x et y strictement positifs vérifient: f(xy) =f(x) + f(y) sont les fonctions de la forme k`xx` ln où k est une constante.

En particulier:

Pour tous réels a et b strictement positifs ln(ab) = lna + lnb

Conséquences:

Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout entier n on a :

ln` 1/a ` =- lna;      ln`a/b` = lna - lnb;    ln(aⁿ) =n lna;   ln(`sqrt(a)` )=`1/2` lna

Limites à connaître:

`lim_(x-gt0) lnx=- oo` ;   `lim_(x-gt+oo) lnx=+ oo` ; `lim_(x-gt1) lnx/(x-1) =lim_(h-gt0) ln(1+h)/h=1`

                       `nbsp lim_(x-gt+oo) lnx/x^n=0` ;      `lim_(x-gt0) x^n lnx=0`

FONCTIONS:   ln o u

Définies pour u >0 sur I

Si de plus u est dérivable sur I  alors (lnu)'=`(u')/u`

(en particulier u et lnu ont même sens de variation sur I)

Une primitive de `(u')/u ` sur un intervalle I où u ne s'annule pas est ln(|u|)

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES

Pour a>o et b réel quelconque on définit  `a^b=e^(blna)`

En particulier:

on peut définir la fonction puissance d'exposant `alpha` : `x|-gtx^alpha` sur ]0; +oo[

on peut définir la fonction exponentielle de base a>0: `x|-gta^x` sur` RR`

on a: ln(`a^x` )=xlna

METHODES

Comment transformer une écriture contenant une fonction logarithme:

On applique les propriétés algébriques:

Ex1: Montrer que pour tout réel x,

`ln (sqrt(x^2+1)-x)+ln(sqrt(x^2+1)+x)=0`

Ex2: Montrer que pour tout réel x>3, on a:

`ln(x^2-2x-3)-2ln(x+1)=ln((x-3)/(x+1)) `

Comment résoudre des équations ou des inéquations:

Méthode1

On se ramène à une équation de la forme ln[f(x)]=ln(g(x)) ou une inéquation de la forme ln[f(x)]<ln[g(x)] en utilisant les propriétés algébriques de la fonction logarithme.

Méthode2

Pour les équations ou les inéquations incluant uniquement des puissances de lnx, on pose X=lnx et on résout l'équation ou l'inéquation polynomiale obtenue.

Comment lever les indéterminations sur les limites:

On peut utiliser:

- la limite d'une fonction composée

- la transformation d'écriture (vérifiez d'abord qu'il y a bien une indétermination...)

- un changement de variable

- les limites fondamentales