Suites

Suites arithmétiques

A savoir:

pour tout entier naturel n, `u_(n+1)=u_n+r` (autrement dit on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même quantité r)
n: indice (toujours positif!)
r: raison de la suite
`r=u_(n+1)-u_n` (s'obtient en faisant la différence de deux termes consécutifs)
si r>0 la suite est croissante ( 5, 7, 9, 11, 13, ....)
si r<0 la suite est décroissante ( 5, 3, 1, -1, -3, -5,...)

le premier terme est noté `u_0` ou `u_1` selon les exercices
Pour tout entier naturel n, `u_n=u_0+nr`          (1)
                                           `u_n=u_1+(n-1)r` (2)
ou plus généralement:     `u_n=u_k+(n-k)r` (3)
ces formules permettent de calculer n'importe quel terme de la suite dès qu'on connait un des termes et la raison, ou de calculer la raison quand on connait deux termes qui ne sont pas forcément consécutifs
si on note S la somme `u_1+u_2+u_3.....+u_n` alors
`S= (u_1+u_n)/2xxn` ou plus généralement `S=(nombre de termes)xx ((premierterme)+(dernierterme))/2`

cas particulier:
`1+2+3+...+n=(n(n+1))/2`

Applications:

ex1: Trouver la raison de la suite dans les cas suivants:
a) u₁=5 et u₂=9
dans ce cas on connait deux termes qui se suivent: r = u₂-u₁=9-5=4
b) u₁=5 et u₈=19
dans ce cas on utilise la formule (2) avec n=8: u₈=u₁+(8-1)r donc en remplaçant: 19=5+7r et on résout l'équation obtenue: 7r+5=19
                                       7r=19-5=14
                                     donc r= 14/7=2
c) u₅=3 et u₁₀=63
dans ce cas on utilise la formule (3) plus générale avec n=10 et k=5 (ou le contraire...):
u10=u5+(10-5)r donc en remplaçant: 63=3+5r et on résout pour obtenir r: 5r=63-3=60 donc r=60/5=12

ex2: On donne u_n=-3n+5 ; est ce une suite arithmétique?
On doit se ramener à la définition: on calcule u_n+1-u_n. Si le résultat est un réel r qui ne dépend pas de n, alors la suite est arithmétique de raison r. Sinon elle ne l'est pas!
Ici u_n+1=-3(n+1)+5=-3n+2 donc u_n+1-un=-3n+2-(-3n+5)=-3n+2+3n-5=-3
La suite est donc arithmétique de raison -3

On donne un= n²+4 ; est ce une suite arithmétique?
On utilise la même méthode: ici un+1=(n+1)2+4=(n2+2n+1)+4=n2+2n+5
donc u_n+1-u_n=n²+2n+5-(n²+4)=n²+2n+5-n²-4=2n+3
Ce résultat dépend de n, la suite n'est donc pas arithmétique

ex3: Calculer u₂₀ dans les cas suivants:
a) on donne u0=10 et r=-2
dans ce cas on utilise la formule (1) avec n=20: u₂₀=u₀+20r=10-40=-30
b) on donne u1=9 et r=3
dans ce cas on utilise la formule (2) avec n=20: u₂₀=u₁+(20-1)xr = 9+19x3=66
c) on donne u3=5 et r=4
dans ce cas on utilise la formule (3) avec n=20 et k=3: u20=u3+(20-3)r=5+17x4=73
d) on donne u₃=5 et u₇=-3
dans ce cas il faut commencer par calculer r à l'aide de la formule (3):
u₇=u₃+(7-3)r donc -3=5+4r donc 4r=-8 et r=-8/4=-2
ensuite on peut calculer u₂₀ en utilisant la même formule, avec n=20 et k=3 (on peut aussi prendre k=7..): u₂₀=u₃+(20-3)r=5+17x(-2)=5-34=-29

ex4: On donne u₃=6, r=5, et on sait que u_n=106. déterminer l'indice n
on utilise là encore la formule (3) avec k=3: u_n=u₃+(n-3)r
on remplace par les valeurs connues: cette fois u_n est connu aussi!
on obtient: 106=6+ (n-3)x5
puis on isole n: 5(n-3)=100 donc n-3=100/5=20 d'où n=23

ex5: a)On donne u₀=3 et r=-18 . Calculer la somme des 10 premiers termes
Attention: le 10^eme terme est u₉ qu'il faut calculer: u₉=u₀+9r=3+9x(-18)=-159
On peut ensuite calculer la somme demandée avec la dernière formule:

`S=(u_0+u_9)/2xx10=(3+(-159))/2xx10=-780`

b) On veut calculer la somme S= 9+12+15+...+252 où on passe d'un terme au suivant en ajoutant 3 à chaque fois
Cette fois on connait le premier et le dernier terme mais il faut calculer le nombre de termes:
on note u1=9 et un=252 (donc n représente le nombre de termes) puis on travaille comme à l'exercice 4:
un=u₁+(n-1)x3 donc 252=9+3(n-1) donc 3(n-1)=252-9=243 et n-1=243/3=81 donc n=82 représente le nombre de termes

et donc : `S=(9+252)/2xx82=10701`

Suites géométriques

A savoir:

pour tout entier naturel n, `u_(n+1)=qxxu_n` (autrement dit on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par la même quantité q)
n: indice (toujours positif!)
q: raison de la suite
`q=u_(n+1)/u_n` (s'obtient en faisant le quotient de deux termes` consécutifs)`

si q>1 la suite est croissante ( 5, 10, 20, 40, ....) avec q=2
si 0<q<1 la suite est décroissante (8, 4, 2, 1, 0.5, 0.25,....) avec q=0.5
si q=0 tous les termes de la suite valent 0 à partir du deuxième
si q=1 tous les termes sont égaux

le premier terme sera noté u₀ ou u₁ selon les exercices
Pour tout entier naturel n, `u_n=u_0xxq^n`         (1)
                                          ` u_n=u_1xxq^(n-1)`      (2)
ou plus généralement:    `u_n=u_kxxq^(n-k)`      (3)

ces formules permettent de calculer n'importe quel terme de la suite dès qu'on connait un des termes et la raison, ou de calculer la raison quand on connait deux termes qui ne sont pas forcément consécutifs
si on note S la somme u₁+u₂+u₃.....+u_n alors `S=u1xx(1-q^n)/(1-q)`
ou plus généralement:
`S=(premierterme)xx(1-q^(nombredetermes))/(1-q)`
cas particulier:
`1+q+q_2+q_3+...=q_n=(1-q^n)/(1-q)`

Applications:

ex1: Trouver la raison de la suite dans les cas suivants:
a)u₀=-2 et u₁=8
dans ce cas on connait deux termes qui se suivent: `q=u_1/u_0=8/(-2)=-4`
b)u₃=54 et u₅=486
dans ce cas en utilisant la formule (3) on a:` u_5=u_3xxq^(5-3)` donc `q^2=486/54=9`
Il y a donc deux possibilités pour q: q=3 ou q=-3
remarque: si on prend q=3 on a u4=54x3=162
si on prend q=-3 on a u4=54x(-3)=-162

ex2: Calculer u₈ dans les cas suivants:
a) u₀=3 et q=4
dans ce cas on utilise la formule (1): `u_8=u_0xxq^8=3xx4^8=196608`
b)u₁=9 et q=-3
dans ce cas on utilise la formule (2): `u_8=u_1xxq^(8-1)=9xx(-3)^(7)=-19683`
c)u₄=405 et q=0.5
dans ce cas on utilise la formule (3): `u_8=u_4xxq^(8-4)=405xx(0.5)^(4)=25.3125`
d)u₄=16 et u₇=128
dans ce cas on commence par utiliser la formule (3) pour obtenir q:
`u_7=u_4xxq^(7-4)` donc `128=16xxq^3` et donc `q^3=128/16=8`
on sait que `8=2^3` donc q=2 (avec un exposant impair il n'y a qu'une solution)
On peut alors calculer `u_8=u_4xxq^4=16xx2^4=256`

ex3: donner le 12^eme terme de la suite dans les cas suivants:
a) u₀=4 et q=3
dans ce cas le 12^eme terme est u₁₁ (car le premier est u₀)
et `u_11=4xx3^11=708588`
b) u₁=4 et q=3
dans ce cas le 12eme terme est bien u12
et `u_12=4xx3^11` on retrouve la valeur précédente: les indices sont seulement décalés d'une unité

ex4:On donne u1=2, q=3 et un=39366. Déterminer n
On utilise la formule (2): `u_n=u_1xxq^(n-1)`
                          donc `39366=2xx3^(n-1)`

                       on obtient `3^(n-1)=39366/2=19683`
On cherche à la calculatrice par tatonnements quelle est la puissance de 3 qui convient. On obtient ici `3^9` =19683 donc n-1=9 et n=10

Problèmes

  ex1: Une voiture neuve vaut 14000€
         On estime que chaque année sa valeur diminue de 950€
         Quelle est sa valeur au bout de 4 ans?
           Au bout de combien d'années sa valeur sera t-elle la moitié de la valeur initiale?

Plusieurs étapes à respecter:

On appelle u_n la valeur de la voiture au bout de n années
donc u₀=14000 et d'après l'énoncé u_n+1=u_n-950
il s'agit donc d'une suite arithmétique de raison -950
on a alors u_n=u₀+nr=14000-950n
pour la première question on doit calculer u₄=14000-950x4=10200
dans la deuxième question on veut u_n`<=` 0.5xu₀ donc u_n`<=` 7000 donc on résout 14000-950n<= 7000
on obtient: 950n`>=` 7000 donc n`>=` 7000/950
7000/950`~~`7.3 donc on doit prendre n=8
la voiture aura perdu la moitié de sa valeur au bout de 8 ans

ex2: La population d'une ville augmente régulièrement de 4% par an.
          En 2005 la population est de 40000 habitants.
          Calculer la population en 2008
          En quelle année la population aura-t-elle doublé?

On retrouve les mêmes étapes que dans l'ex1:

On appelle u_n la population au bout de n années, donc en 2005+n
donc u₀=40000 et d'après l'énoncé on a u_n+1=1.04u_n
(coefficient multiplicateur correspondant à une augmentation en pourcentage de 4%)
Il s'agit donc d'une suite géométrique de raison q=1.04
On a alors u_n=u₀xqⁿ=`40000xx1.04^n`
pour la première question il faut calculer u₃ (il s'est écoulé 3 ans depuis 2005)
`u_3=40000xx1.04^3~~44995`
Pour la deuxième question on veut` u_ngt=2u_0` donc il faut trouver n pour que `1.04^n>=2`
A la calculatrice on obtient n=18 (plus petite valeur possible) donc la population aura doublé en 2023

ex3: Un capital placé à intérêts composés au taux de 5% a une valeur acquise de 63814.08€ au bout de 5 ans. Quel était le capital initial?

Vocabulaire: intérêts composés: le capital augmente en pourcentage chaque année
(par opposition aux intérêts simples où les intérêts sont toujours calculés par rapport au capital de départ)
valeur acquise: c'est le capital dont on dispose à un moment donné

u_n=capital au bout de n années de placement
u₀est notre inconnue
on sait que` u_(n+1)=u_nxx1.05^n` (augmentation en %) donc on a une suite géométrique de raison q=1.05

on connait u₅=63814.08
donc on résout: `u_0xx1.05^5=63814.08`
on obtient: `u_0=63814.08/1.05^5=50000euro`