Calculs de dérivées

Formulaires

Fonctions usuelles:

Cas particuliers: f(x)=constante   alors    f' (x)=0
                        f(x)=x³   alors f' (x)=3x²
                              f(x)=3x²-5x+4  alors f'(x)=3*2x-5=6x-5 (voir tableau des opérations)

Opérations:

de plus si f est multipliée par une constante alors sa dérivée est multipliée par la même constante

Exemples:

1) f(x)=3x²+`1/x` 
forme u+v avec u(x)=3x² et v(x)=`1/x`
on a u'(x)=3*2x=6x et v'(x)=`-1/x^2`
donc f' (x)= 6x-`1/x^2` = `(6x^3-1)/x^2`  (en réduisant au même dénominateur)

2) f(x)=x³(x²+2x-1)
forme uv avec u(x)=x³ et v(x)=x²+2x-1
on a u'(x)=3x² et v'(x)=2x+2
donc f' (x)=3x²(x²+2x-1)+x³(2x+2)= 5x⁴+8x³-3x² (en développant)

3) f(x)=(4x³-2x)⁵
forme uⁿ avec u(x)=4x³-2x et n=5
on a u'(x)=4*3x²-2=12x²-2
donc f'(x)=5(12x²-2)(4x³-2x)⁴  (qu'on ne s'amuse surtout pas à développer!)

4) f(x)= (`1/x`)²
forme uⁿ avec u(x)=`1/x`  et n=2
on a u'(x)=`-1/x^2`
donc f'(x)=2*`(-1/x^2)` *`1/x` = -`2/x^3`

5) f(x)=`(2x+3)/(-3x+5)`
forme `u/v`  avec u(x)=2x+3 et v(x)=-3x+5
on a u'(x)=2 et v'(x)=-3
donc f' (x)=`(2(-3x+5)-(2x+3)(-3))/(-3x+5)^2` =`19/(-3x+5)^2`  (en développant le numérateur)

6) f(x)=`x/(x^2+1)`
forme `u/v`  avec u(x)=x et v(x)=x²+1
on a u'(x)=1 et v'(x)=2x
donc f' (x)=`(1(x^2+1)-x(2x))/(x^2+1)^2` =`(-x^2+1)/(x^2+1)^2` =`((1-x)(1+x))/(x^2+1)^2`  (en factorisant l'identité remarquable 1-x², ce qui sera utile pour étudier le signe par la suite)

7) f(x)=`3/(x^3+1)` =3*`1/(x^3+1)`
forme 3* `1/u`  avec u(x)=x³+1 (évitez de considérer ce quotient comme une forme u/v, vous risquez de grosses erreurs..)
on a u'(x)=3x²+0=3x²
donc f'(x)=`-(3x^2)/(x^3+1)^2`