Droites et systèmes

Equations de droites

Méthode1: Si on connait les coordonnées de deux points de la droite A(x_A; y_A)et B(x_B;y_B) alors le coefficient directeur de la droite (AB) vaut:

 `a=(y_B-y_A)/(x_B-x_A) `  

Méthode2: Pour tracer une droite dont on connait un point A et le coefficient directeur a:

1.  On place le point A
2.  A partir de A, on se déplace de 1 parallèlement à l'axe des abscisses (horizontalement) puis on se déplace verticalement de la valeur a (vers le haut si a>0 et vers le bas si a>0)
3. On marque le point B obtenu
4. On trace la droite (AB)

Méthode3: Pour déterminer l'équation y=ax+b (équation réduite) d'une droite d par lecture  graphique:

1. On repère la valeur de l'ordonnée à l'origine b: elle correspond à l'ordonnée du point de contact avec l'axe "vertical"
2. On repère un point de la droite dont les coordonnées sont faciles à lire
3. A partir de ce point on se déplace de 1 horizontalement (de gauche à droite) et on regarde quel déplacement vertical est nécessaire pour rejoindre la droite d
4. Le nombre obtenu est la valeur a avec a>0 si on "monte" et a<0 si on "descend"

Méthode 4: Pour tracer une droite dont on connait l'équation réduite y=ax+b:

1. On détermine deux points A et B de la droite. Pour cela,
   • on se donne une valeur simple de x, x₁
   • on calcule la valeur correspondante de y, y₁=ax₁+b
   • on obtient ainsi les coordonnées du premier point A(x₁, y₁)
   • on recommence avec une autre valeur simple de x, x₂ qui permet de calculer y₂ et donc d'obtenir un deuxième point de la droite B( x₂, y₂)
2. On place A et B
3. On trace la droite (AB)

Systèmes

Interprétation géométrique

Résoudre le système: `{(ax+by+c=0),(a'x+b'y+c'=0):}`  revient à chercher le nombre de points d'intersection des droites d et d' d'équations respectives ax+ by+c=0 et a'x+ b'y+c'=0

Si le tableau

est un tableau de proportionnalité, alors les deux droites sont confondues et le système possède une infinité de solutions

Si on a: a'=ka, b'=kb mais c'`!=` kc aors les deux droites n'ont aucun point commun et le système ne possède aucune solution

Sinon les deux droites sont sécantes et le système possède une solution unique

Résolution par substitution

1. A l'aide de l'une des équations, exprimer l'une des inconnues, par exemple y, en fonction de l'autre. (on isole y...)
2. Remplacer y dans l'autre équation par l'expression obtenue à l'étape1
3. Résoudre cette équation qui ne contient plus que x comme inconnue
4. Remplacer la valeur trouvée dans l'expression obtenue pour y à l'étape1

exemple: `{(-6x+5y=8),(3x+y=3):}`

on isole y dans la deuxième équation: y=3-3X

on remplace dans la première: -6x+5(3-3x)=8

on résout l'équation obtenue: -6x+15-15x=8

                                           -21x=8-15=-7

                                            `x=7/21=1/3`

on calcule y:  `y=3-3x=3-3xx1/3=3-1=2 `

on donne l'ensemble solution: S={(`1/3` , 2)}

Résolution par combinaisons

1. on multiplie les deux membres de chaque équation par des réels non nuls de telle sorte que les coefficients d'une des deux inconnues soient opposés
2. on additionne membre à membre les deux nouvelles équations; il ne reste alors plus qu'une seule inconnue
3. calculer cette inconnue
4. si la valeur obtenue est simple, on l'utilise pour calculer l'autre inconnue (on remplace dans l'une des deux équations du début)
5. si la valeur obtenue n'est pas entière, on recommence la combinaison pour éliminer l'inconnue déjà calculée

exemple: `{(-6x+5y=8),(3x+2y=3):}`

on garde la première équation et on multiplie la deuxième par 2:`{(-6x+5y=8),(6x+4y=6):}`

on ajoute: 9y=14

donc `y=14/9`

on pourrait rempacer y par `14/9` dans une des équations puis calculer x mais les calculs ne seraient pas très agréables...

on recommence donc la combinaison: on multiplie cette fois la première équation par 2 et la deuxième par -5:

`{(-12x+10y=16),(-15x-10y=-15):}`

on ajoute: -27x=1 donc `x=-1/27`

donc `S={(-1/27 ; 14/9)}`

Problème: Trouver l'équation réduite d'une droite par la résolution d'un système

La droite D a une équation de la forme: y=ax+b et passe par les points A(2;3) et B(-5;2)

déterminer a et b

1. on écrit que les coordonnées de A et de B doivent vérifier l'équation de la droite, donc on remplace x et y par l'abscisse de A et l'ordonnée de A dans y=ax+b
   on obtient: 3=2a+b ce qui s'écrit aussi 2a+b=3
   De la même façon on utilise les coordonnées de B ce qui donne:2=-5a+b ou encore -5a+b=2


2. on obtient donc un système dans lequel les inconnues s'appellent a et b:
   `{(2a+b=3),(-5a+b=2):} `


3. on résout le système par l'une des 2 méthodes étudiées, aussi simples l'une que l'autre ici:
   par substitution: `{(b=3-2a),(-5a+(3-2a)=2):}`
   qui donne:`{(b=3-2a),(3-7a=2):}`   `hArr`   `{(b=3-2a),(-7a=-1):}`   `<=>`    `{(a=1/7),(b=3-2/7=19/7):}`
   on a donc l'équation de droite cherchée: ` y=1/7x+19/7`
   par combinaison:
   on multiplie la première ligne par 1 et la deuxième par -1 pour éliminer b ce qui donne:  `{(2a+b=3),(5a-b=-2):}` donc en ajoutant: `7a=1 ` d'où `a=1/7`
   on multiplie ensuite la première ligne par 5 et la deuxième par 2 pour éliminer a:
   `{(10a+5b=15),(-10a+2b=4):}`  donc en ajoutant: `7b=19` d'où `b=19/7`
   on retrouve l'équation   `y=1/7x+19/7`


4. On peut ensuite tracer la droite obtenue et vérifier qu'elle passe bien par les points A et B