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Fonctions

Fonctions usuelles

Fonction affine: f(x)=ax+b définie sur `RR`

la représentation graphique est une droite de coefficient directeur a et d'ordonnée à l'origine b

f est croissante sur `RR` si a>0
f est décroissante sur `RR` si a<0

Fonction carrée: f(x)=`x^2 ` définie sur `RR`

Tableau de valeurs:

x	-4	-3	-2	-1	-0.5	0	0.5	1	2	3	4
`x^2`	16	9	4	1	0.25	0	0.25	1	4	9	16

La courbe représentative est une parabole:

Tableau de variation:

x	`-oo` 0 +oo
f(x)

Fonction cube: f(x)=`x^3 ` définie sur` RR`

Tableau de valeurs:

x	-2.5	-2	-1	-0.5	0	0.5	1	2	2.5
`x^3`	-15.625	-8	-1	-0.125	0	0.125	1	8	15.625

Courbe représentative:

Tableau de variation:

x	`-oo` 0 `+oo`
f(x)

Fonction inverse: f(x)=`1/x` définie sur `RR` \{0}

Tableau de valeurs:

x	-5	-4	-3	-2	-1	-0.5	-0.25	0.25	0.5	1	2	3	4	5
1/x	-0.2	-0.25	-1/3	-0.5	-1	-2	-4	4	2	1	0.5	1/3	0.25	0.2

La courbe représentative est une hyperbole:

Tableau de variation:

x	`-oo` 0 ` +oo`
f(x)

Fonction racine carrée: f(x)=`sqrt(x)` définie sur [0, `+oo` [

Tableau de valeurs:

x	0	0.25	1	2	3	4	5	6	7	8	9
sqrt(x)	0	0.5	1	1.41	1.73	2	2.24	2.45	2.64	2.83	3

Courbe représentative:

Tableau de variation:

x	0 `+oo`
f(x)	0

EXERCICES

Ex1: On donne les fonctions fet g définies sur [-3; 2] par: f(x)= 3x-2 et g(x)=`x^2`

Donner leur tableau de variation
Tracer leur courbe représentative
Résoudre graphiquement l'équation f(x)=g(x) et vérifier par un calcul
Tracer la courbe représentant h : x`|->` ` x^2-3x+2` , comparer les résultats précédents avec les solutions de h(x)=0

Solutions:

pour le 1) il suffit de recopier les tableaux donnés dans la partie cours (au-dessus!) et de compléter avec les images de -3 et de 2

x	-3 2
3x-2	-11 4

x	-3 0 2
x²	94

2) pour la droite on peut utiliser les points obtenus dans le tableau de variation ou la méthode avec coefficient directeur et ordonnée à l'origine

pour la fonction carrée on utilise un tableau de valeurs pour x entre -3 et 2 analogue à celui du cours

3) On cherche les points d'intersection des deux courbes et on lit leurs abscisses

on obtient: S={1;2}

On vérifie: `f(1)=3xx1-2=1` et `g(x)=1^2=1`

`f(2)=3xx2-2=4` et `g(2)=2^2=4`

4) On utilise un tableau de valeurs:

x	-3	-2	-1	0	1	2
h(x)	17	12	6	2	0	0

On remarque que h(x)=0 pour x=1 ou x=2

justification: h(x)=0 ssi x²-3x+2=0 ssi x²=3x-2 ssi g(x)=f(x)

Ex2: Problèmes de coûts

Dans une compagnie de taxis, la prise en charge coûte 2€ et chaque km parcouru coûte 1.5€

Calculer p(x), coût total pour x km parcourus
Le prix moyen du km , M(x), est le quotient du prix total par le nombre de km parcourus
Ecrire M(x) en fonction de x
Calculer M(x) pour x entier entre 1 et 10
Donner une représentation de M sur l'intervalle [1;20]
Peut-on avoir un parcours tel que le prix moyen soit 1.7€? Et pour un prix moyen de 1.4€?
Retrouver ces résultats par un calcul

Solutions:

1) coût fixe: 2€, coût variable: 1.5€ par km, donc p(x)=2+1.5x

2) `M(x)= (p(x))/x = (2+1.5x)/x =1.5 + 2xx1/x`

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
M(x)	3.5	2.5	2.17	2	1.9	1.83	1.8	1.75	1.6	1.7

4) prix moyen égal à 1.7€: on cherche l'intersection de la courbe avec la droite horizontale d'équation y=1.7

On trouve un point d'intersection pour x=10km, donc une solution.

prix moyen égal à 1.4€: la courbe ne rencontre pas la droite d'équation y=1.4 donc pas de solution

Par le calcul on résout:

`M(x)=1,7 ` ssi `1.5+2/x=1.7` ssi `2/x=0.2` ssi `2=0.2x` ssi `x=2/0.2=10`

puis `M(x)=1.4` ssi `1.5+2/x=1.4` ssi `2/x=-0.1` ssi `x=-20` impossible entre 1 et 20

Remarque: le chauffeur de taxi réalisera un bénéfice si le prix moyen de la course est supérieur ou égal à ce qu'il dépense (essence entretien...) par km parcouru

Bénéfice=recette -dépense

Lectures graphiques

On donne la représentation graphique d'une fonction f:

1. Déterminer l'ensemble de définition D de f

2. Déterminer f(0), f(2), f(-5)

3. Résoudre l'équation f(x)=-8 puis donner les antécédents de 7

4. Combien y-a-t-il d'antécédents pour 3? Pour 10? pour 18?

5. Résoudre f(x)>7

6. Tracer la droite d'équation y=x-1

7. Résoudre graphiquement l'équation f(x)=x-1

puis l'inéquation f(x)<x-1

8. Etablir le tableau de variation de f

9. Etablir le tableau de signes de f

10. Donner le maximum de f sur D; en quelle(s) valeur(s) est-il atteint?

Donner le minimum de f sur D

Solutions:

1. D=[-7 ; 6]

2. f(0)=-5; f(2)=5; f(-5)=0

3. On trace la droite horizontale d'équation y=-8

On lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe

f(x)=-8 a donc pour solutions: S={-3; -1}

On procède de la même façon pour les antécédents de 7 (il reviendrait au même de dire: résoudre f(x)=7)

On obtient S={-6; 2.5; 5.5}

4. On compte simplement le nombre de points d'intersection entre la courbe et les droites d'équations y=3, y=10, y=18

On obtient 2 antécédents pour 3, 1 antécédent pour 10, aucun antécédent pour 18...

5. On trace la droite horizontale d'équation y=7

On repère les points de la courbe situés au-dessus de cette droite

On donne le (ou les) intervalle(s) où se trouvent leurs abscisses

On obtient S=[-7; -6[ `uu` ]2.5; 5.5[ (points de contacts exclus car l'inégalité est stricte)

6. On utilise l'ordonnée à l'origine (-1) et le coefficient directeur (1) voir les exercices sur les droites...

7. On cherche les points d'intersection entre la courbe et la droite puis on lit leurs abscisses

On obtient: S={-4; 1; 6}

On repère les points de la courbe situés au-dessous de la droite et on donne l'intervalle (ou la réunion d'intervalles) où se trouvent leurs abscisses

S=]-4; 1[

remarque: si on avait demandé de résoudre f(x)`lt=` x-1, on aurait eu comme solutions:

S=[-4; 1]`uu` {6} (ne pas oublier le point isolé pour lequel l'égalité est vérifiée)

8. tableau de variation:

9. tableau de signes:

x	-7 -5 -1 6
f(x)	+ 0 - 0 +

10. f a pour maximum 16 atteint pour x=-7

f a pour minimum -9 (atteint pour x=-2)